Uma placa plana está imersa em um fluxo de ar de u_∞ = 40 m/s, tem um envergadura b = 1 m, uma corda c = 0,75 e é colocada paralelamente ao fluxo de ar, eixo x. O eixo y está apontando para cima. A coordenada x = 0 está no bordo de ataque da placa plana, enquanto a coordenada x = c coincide com o bordo de fuga. A coordenada z no sentido da envergadura varia de -b/2 a b/2, respectivamente, às arestas da asa. Este exercício está dividido em três seções.

Primeira seção

A primeira seção é baseada em três cálculos, (1) a vorticidade na superfície superior no ponto (c,0,0) para c_f = 0,003, (2) a taxa de fluxo de ar na camada limite em m²/s para (x = c, z = 0) e y > 0 com δ = 0,016 me δ* = 0,002 me defina (3) uma expressão analítica para a taxa de fluxo de ar em (x = c, z = 0) e y > 0 onde a velocidade perfil é dado abaixo:

u = u_∞∙(y/δ)^1/7

O primeiro passo é calcular o Reynolds para identificar se o fluxo de ar é laminar ou turbulento:

Re = u∙l/ν = (40 ∙ 0.75) / 15∙10^-6 [(m/s) ∙ m/(m²/s)] = 2000000 = 2∙10⁶ → Turbulent flow

Outro cálculo importante é a pressão dinâmica, na maioria das questões aerodinâmicas é necessário calcular este parâmetro, que é dado por:

q_∞ = (1/2)∙ρ∙u_∞² = 0.5 ∙ 1.2 ∙ 40² [(kg/m²)∙(m/s)²] = 960 Pa

Questão 1

Assim, considerando um escoamento turbulento é possível iniciar o cálculo da vorticidade (1). Na verdade, o fato do escoamento turbulento é uma das considerações. Como esta questão supõe uma placa plana com uma espessura desprezível, a vorticidade é calculada assumindo que o fluxo de ar está próximo da placa onde não há condições de deslizamento υ|_ω = 0 são aplicadas. Basicamente, simplificam os cálculos considerando uma placa plana 2D, o que implica:

∂u/∂y ≫ ∂υ/∂x Assim, a vorticidade pode ser simplificada para: ω = (∂υ/∂x – ∂u/∂y) ≈ – ∂u/∂y

No entanto, a componente de velocidade u não é conhecida (para esta questão), é necessário outro meio para calcular isso. Para uma direção corrente x, direção normal à parede y, é possível escrever:

τ₁₂|_ω = 2μS₁₂

Uma vez que a ordem de análise de magnitude de Prandt aproxima isso a:

τ₁₂ ≈ μ∙(∂u/∂y)

Na parede (y = 0) essas aproximações não são mais necessárias, portanto:

τ₁₂|_ω = μ∙(∂u/∂y)|_ω

A tensão de cisalhamento na parede pode ser muitas vezes dada por:

τ₁₂|_ω = τ_ω

O coeficiente de arrasto devido ao atrito local já é conhecido, assim usando sua definição é possível encontrar a vorticidade:

c_ƒ(x) = τ_ω(x) / q_∞

τ_ω(x) = c_ƒ(x) ∙ q_∞ = 0.003 ∙ 960 = 2.880 Pa

τ_ω = μ∙(∂u/∂y)|_ω = 2.880 Pa → (∂u/∂y)|_ω = 2.880 / μ = 2.880 / (18∙10^-6) [Pa/(Pa∙s)] = 160000 = 1.6∙10⁵ s^-1

Então:

ω = – ∂u/∂y = – 1.6∙10⁵ s^-1

Questão 2

A próxima pergunta pede para calcular o fluxo de ar na camada limite em m²/s para (x = c, z = 0) e y = 0. Se uma das informações for δ = 0,016 me δ* = 0,002 m, o deslocamento espessura está sendo considerada. Para um caso de placa plana e assumindo uma densidade constante, a vazão volumétrica devido à espessura do deslocamento:

q’ = u∞(δ – δ*) = 40∙(0.016 – 0.002) [(m/s)∙m] = 0.560 m²/s

Basicamente, o aplicativo de fórmula resolve essa questão.

Questão 3

Nesta questão é solicitada a vazão de ar considerando o perfil de velocidade dado, as condições são as mesmas (x = c, y = 0) e y > 0. O cálculo é:

u = u_∞∙(y/δ)^1/7 ; δ* = ∫₀^y≽δ(1 – u(y)/u_∞)dy

(u/u_∞) = (y/δ)^1/7 → δ* = ∫₀^y≽δ(1 – (y/δ)^1/7)dy = ∫₀^y≽δdy – ∫₀^y≽δ(y/δ)^1/7dy = y|₀^δ – (1/δ^1/7)∙[1/(1+1/7)]∙y^1+1/7|₀^δ

δ* = y|₀^δ – (1/δ^1/7)∙(y^8/77/8)|₀^δ = (δ – 0) – (1/δ^1/7)∙(δ^8/77/8 – 0) = δ – δ∙7/8 = δ/8

q’ = u_∞∙(δ – δ*) = u_∞∙(δ – δ/8) = 7δ/8 m²/s = 0.875∙δ m²/s

Segunda seção

Neste ponto o exercício se tornou um pouco complexo, a placa plana é girada em torno do eixo z. O ângulo de ataque produzido é α = – 0,1 rad para gerar uma sustentação L = 180 N. Além disso, assume-se que a placa plana se comporta como uma asa elíptica. As questões são para calcular o arrasto induzido (4) e o arrasto de forma (5). Para entender como chegar a esses ângulos é importante conhecer os ângulos básicos da asa, conforme ilustrado na Figura.

Questão 4

Como pode ser visto, são componentes de arrasto, uma devido ao ângulo de ataque induzido e outra devido ao arrasto gerado pela forma do corpo. O primeiro passo é utilizar as informações que a questão já possui, α e L, assim é possível escrever as equações para ângulo de ataque total induzido e sustentação, respectivamente.

L = C_L∙q_∞∙S → C_L = L/(q_∞∙S) = 180 /[960∙(1∙0.75)] = 0.250

α_i = C_L/(π∙AR) = 0.250/[π∙(1/0.75)] = 0.059683104 ≃ 0.060 rad

D_i = L ∙ Tg(α_i) = 180∙Tg(0.060 rad) = 10.75573259 N = 10.756 N

Como pode ser visto na Figura 1 e pelos cálculos, o componente de arrasto induzido é muito pequeno. É bastante claro que as forças produzidas devido ao fluxo de ar podem ser calculadas por relação trigonométrica no triângulo retângulo.

Questão 5

O mesmo processo pode ser aplicado ao arrasto de forma, que é mais fácil de calcular, pois α já é conhecido.

cos(α) = L/L_ƒ ; sin(α) = D/L_ƒ

Tg(α) = sin(α)/cos(α) = (D/L)/(L/L) = D/L → D = L∙Tg(α)

D = 180∙Tg(- 0.1) = – 18.06024098 N = – 18.060 N

Terceira seção

A terceira seção de cálculos é sobre a variação total do ângulo de α = – π/2 rad, mas com uma resistência ao arrasto de C_D = 1,3 e um coeficiente de pressão de C_p,b = – 1,1, O cálculo solicitado é o C_p,f médio , que é o coeficiente de pressão frontal (6) e o conteúdo de energia gerado por unidade de comprimento x (7).

Questão 6

De acordo com a Figura 3, é possível entender a situação. Quando a placa plana gira até – π/2 rad, o coeficiente de arrasto é a soma dos valores médios do coeficiente de pressão na base e na frente da placa. O desenvolvimento deste baseia-se em:

D = – q_∞∫c_p n dS → D = – q_∞∙c_p ∫n∙i dS

Uma vez que a definição da expressão do coeficiente de pressão C_P é:

C_p ≡ (p – p_∞)/q_∞ → C_p∙q_∞ = (p – p_∞) → C_p∙q_∞ = p

Isso pode ser aplicado na definição de arrasto, que é escrita de forma direta devido à posição real da placa:

D = q_∞∙C_D∙S = q_∞∙C_D∙(b∙c)

Com essas 2 últimas equações, é possível substituí-las na integral de arrasto devido ao coeficiente de pressão:

D = – q_∞∙c_p ∫n∙i dS → D = – p∫n∙i dS = – q_∞∙c_p,f ∫n∙i dS

A expressão para o coeficiente de pressão na face frontal da placa é descrita acima. Como o arrasto é a diferença de pressão nas faces frontal e de base, é possível escrever:

D = – q_∞∙c_p,f ∫n∙i dS – q_∞∙c_p,bf ∫n∙i dS

Como a definição do arrasto é D = q_∞∙C_D∙S, é possível escrever:

q_∞∙C_D∙S = – q_∞∙c_p,f ∫n∙i dS – q_∞∙c_p,b ∫n∙i dS

Desenvolvendo a integral é possível obter o produto entre os vetores n e i, sendo a normal externa e o vetor deslocamento na direção x. Este produto tem resultados diferentes, pois n vetores de cada face da placa apontam para direções opostas, assim:

q_∞∙C_D∙S = q_∞∙c_p,f ∙S – q_∞∙c_p,b∙S

C_D = C_p,f – C_p,b → C_p,f = C_D + C_p,b = 1.3 + (-1.1) = 0.2

Questão 7

A última pergunta é sobre o conteúdo de energia em uma esteira por unidade de comprimento x, que é dada por E₀‘. No entanto, este é basicamente o arrasto devido à pressão sobre a superfície, assim:

D = q_∞∙C_D∙S = E₀‘ → E₀‘ = q_∞∙C_D∙S

E₀‘ = 960∙1.3∙(1∙0.75) = 936 N

Referências

• Stalio, Enrico. Aerodynamics. October, 2021;