Este exercício propõe uma série de cálculos sobre uma asa elíptica, esta exposta a um campo de escoamento com U∞ = 100 m/s e ρ = 1,2 kg/m³ e a asa apresenta um ângulo de ataque induzido de α = 0,1 rad. As características desta asa elíptica são que a corda b = 8 m, a relação de aspecto AR = 6, a inclinação de elevação a0 = 2π rad-1, o ângulo sem elevação α0 = – 0,02 rad. Além disso, a torção geométrica e dinâmica são nulas, portanto o ângulo de ataque e o ângulo de não sustentação não são funções de y, portanto α ≠ ƒ(y) e αL=0 ≠ ƒ(y).

Primeira parte

A primeira parte deste exercício propõe uma asa elíptica sob variação α.

Questão 1 – Calcular a inclinação da sustentação

Como esta asa tem distribuição elíptica, sua sustentação e circulação também são elípticas. Outro detalhe importante é o twist, tanto o geométrico quanto o aerodinâmico são zero. Isso implica que CL = cL, os coeficientes de sustentação global e local são iguais e a inclinação de sustentação é independente de y. Portanto, a inclinação da linha de elevação pode ser calculada por:

a = a₀ / [1 + a₀/(π*AR)] = 2π/(1 + 2π/6π) = 2π/(1 + 1/3) = 2π/(4/3) = 3π/2

Questão 2 – Calcule o ângulo efetivo induzido α_eff

Entendendo que o ângulo de ataque induzido em uma asa elíptica com sustentação nula é α0 = – 0,02 rad, é possível calcular αeff. Porém, antes de realizar este cálculo, é importante entender o comportamento da asa.

Como pode ser visto na Figura 1, existe uma componente de sustentação ortogonal à velocidade da corrente livre do vento U∞, isso fica claro pelos efeitos induzidos e é dado por L2, uma sustentação vetorial para uma asa tridimensional na direção ortogonal ao vento aparente L3, também chamado de vento efetivo. Isso está em um ângulo αeff relativo à asa, que é o ângulo de ataque efetivo. Por isso:

α = α_i + α_eff

C_L = c_L → c_L = a₀∙(α_eff – α_L=0) = a∙(α_eff – α_L=0) = (3π/2)(0.1 + 0.02) = (3π/2)×0.12 = 0.565

α_i = CL/(AR∙π) = 0.565/6π = 0.03 rad

α = α_i + α_eff → 0.1 = 0.03 + α_eff → α_eff = 0.1 – 0.03 = 0.7 rad

Como a asa elíptica deste caso não possui torção geométrica, o ângulo de ataque induzido e o ângulo de sustentação zero não são função de y. Assim é possível assumir CL = cL e simplificar cL = a∙(α – αi – αL=0). Isso ocorre porque cL é igual a zero quando α = α0.

Questão 3 – Calcule o downwash aplicando todas as aproximações trigonométricas usuais

Esta questão requer o cálculo da componente downwash, que é a componente vertical gerada entre o vetor velocidade U∞ e Ua conforme ilustrado na Figura 2.

Um detalhe importante sobre o downwash é seu valor constante ao longo da envergadura, mas apenas em casos de distribuição de circulação elíptica, ou asa elíptica. Assim, aplicando a aproximação geométrica:

sin(αi) = ω/U_a ; cos(α_i) = U_∞/U_a → Tg(α_i) = sin(α_i)/cos(α_i) = (ω/U_a)/(U_∞/U_a) = ω/U_∞ → ω = U_∞∙Tg(α_i)

ω = U_∞∙Tg(α_i) = 100∙Tg0.03 = – 3 m/s

Questão 4 – Calcule a circulação respetiva ao centro da asa, y = 0 e justifique a aplicação da fórmula ω = – Γ_b/2b

Considerando a circulação no centro da asa resulta em downwash de ω = – Γb/2b. Na verdade, o downwash é um vetor de velocidade negativa que muda ao longo da envergadura da asa. Por isso:

ω = – Γ_b/2b → Γ(y) = Γ0√[1 – (2y/b)²] → Γ(y=0) = Γ₀√[1 – (2∙0/b)²] = Γ₀

Γ(y=0) = Γ₀ → ω = – Γ₀/2b → Γ₀ = – 2b∙ω = – 2∙8∙(-3) = 48 m/s²

Este procedimento descreve que no meio de uma asa elíptica, a vorticidade limitada é máxima nesta posição. Além disso, o downwash não é uma função da posição da envergadura da asa, y. Assim, ω = – Γb/2b pode ser aplicado devido aos pressupostos para asas elípticas, que são a distribuição elíptica, αi ≠ αi(y), α0 ≠ α0(y) e ω ≠ ω(y).

Segunda parte

A próxima seção deste exercício é a variação do ângulo de ataque induzido para αi = π/10 rad, assim o perfil de velocidade na coordenada ξ1 a partir do bordo de ataque é dado por:

(U(ξ₁)/U_∞) = 4η⁴ – 11η³ + 9η² – η ; η = η*/δ(ξ)

Onde ξ é uma coordenada paralela e curvilínea do perfil da asa, η é a coordenada na direção normal relativa ao perfil da asa. É um parâmetro adimensional já que η* e δ(ξ) são dimensionais.

(U(ξ₁)/U_∞) = 4(η*/δ(ξ))⁴ – 11(η*/δ(ξ))³ + 9(η*/δ(ξ))² – η*/δ(ξ)

Questão 5 – Verifique se o fluxo separa

Nesse tipo de questão, a equação do perfil de velocidade é utilizada para verificar o gradiente de pressão próximo à superfície da asa. Assim, as variáveis serão (ξ1, η = 0). A condição para separação é o gradiente de velocidade tendendo a zero na parede, assim (∂u/∂η*) = 0 quando η* = 0. Daí:

(U(ξ₁)/U_∞) = 4(η*/δ(ξ))⁴ – 11(η*/δ(ξ))³ + 9(η*/δ(ξ))² – η*/δ(ξ)

∂u/∂η* = U_∞∙[4(η*/δ(ξ))⁴ – 11(η*/δ(ξ))³ + 9(η*/δ(ξ))² – η*/δ(ξ)]

∂u/∂η* = U_∞∙[4∙4(η*/δ(ξ))³ – 3∙11(η*/δ(ξ))² + 2∙9(η*/δ(ξ)) – 1/δ(ξ)] ; η* = 0

∂u/∂η* = – U_∞/δ(ξ)

Como pode ser visto, ∂u/∂η* é negativo. A separação ocorre quando ∂u/∂η* = 0, mas existe outra condição para a separação, que é o gradiente adverso de pressão.

∂²u/∂η*² = U_∞∙[3∙4∙4(η*/δ(ξ)⁴)² – 2∙3∙11(η*/δ(ξ)³) + 2∙9(1/δ(ξ)²)]

∂²u/∂η*² = U_∞∙[3∙4∙4(η*/δ(ξ))² – 2∙3∙11(η*/δ(ξ)) + 2∙9(1/δ(ξ)²] ; η* = 0

∂²u/∂η*² = 18U_∞/δ(ξ)²

No entanto, a segunda derivada parcial também é igual a:

∂²u/∂η*² = μ^-1(dP/dξ₁)|_η* ≈ μ^-1(dP/dξ₁)

18U_∞/δ(ξ)² = μ^-1(dP/dξ₁)

(dP/dξ₁) = 18(μU_∞/δ(ξ)²)

É possível notar que ocorre separação, mas o gradiente de velocidade é negativo na parede.

Questão 6 – Verificar se o gradiente de pressão é adverso

u(du/dx) = -ρ^-1(dp/dx) → u(du/dξ₁) = -ρ^-1∙18(μU_∞/δ(ξ)²) = -18(υU_∞/δ(ξ)²)

du/dξ₁ = -18(υU_∞/Uδ(ξ)²)

Portanto, como du/dξ1 é negativo, o gradiente de pressão tem condições para ser considerado adverso, que são dP/dξ1 > 0 e du(ξ1)/dξ1 < 0.

Questão 7 – Calcule o gradiente de pressão em (ξ1, η = 0)

(dP/dξ1) = 18(μU∞/δ(ξ)²) = 18∙18∙10-6∙100/δ(ξ)² = 0,0324/δ(ξ)²

Conclusão

A primeira parte da questão trata da variação das forças aerodinâmicas quando a asa muda seu ângulo de ataque α. É importante entender que quando α muda, os componentes de força surgem devido a dois ângulos, αeff e αi, que são os ângulos de ataque efetivo e induzido. O primeiro é relativo ao fluxo de ar efetivo. Embora a maioria dessas questões assuma um fluxo uniforme, existe esse fluxo de ar “resultante” sobre a asa. Seu componente de elevação é ortogonal à linha de fluxo de ar efetivo. Portanto, seu ângulo com a sustentação em relação à coordenada de fluxo livre é o αi adequado. Outro ponto interessante é que esses componentes de sustentação não devem ser confundidos com a sustentação resultante na estrutura da asa. A segunda parte do exercício está interessada nas características do escoamento, basicamente o que leva o escoamento a se separar da superfície da asa. Uma vez que a equação do perfil de velocidade é fornecida, é fácil encontrar as características de fluxo que definem o fluxo como propenso a separar ou anexar. Basicamente, quando o gradiente de pressão é positivo (dp/dx > 0) e o gradiente de velocidade é zero (∂u/∂y), o fluxo se separa da superfície da asa.

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