Um veículo movido a energia solar tem uma carroceria aerodinâmica e três rodas parcialmente escondidas pela carroceria do veículo. O coeficiente de força descendente é C_L = 1 e as cargas verticais são igualmente distribuídas sobre essas rodas. A massa do veículo é m = 480 kg, a área frontal é A = 1 m², o coeficiente de atrito lateral é μ = 1, a aceleração da gravidade é g = 10 m/s². O perfil de velocidade do carro em relação ao plano longitudinal é dado pela seguinte equação:

(U(η)/U_∞) = (η – 1)³∙(η + 1) – β(x)∙η∙(η – 1)³ + 1 ; η = z/δ(x)

Onde z é a coordenada vertical normal à carroceria do veículo, δ(x) é a espessura da camada limite e β(x) é uma função decrescente de x, que contabiliza a evolução do perfil de velocidade.

Questão 1 – Calcule o raio de curvatura mínimo quando a velocidade do veículo for U_∞ = 10 m/s²

Existem dois aspectos importantes ao analisar a capacidade do veículo para fazer uma curva, um é o desempenho do pneu, o outro é a aerodinâmica. Na verdade, os pneus dependem de seus contatos com a superfície. Como este veículo possui carroceria aerodinâmica, o coeficiente de atrito dá lugar à rigidez aerodinâmica Ka, que é dada por Ka = – q∞∙A∙∂CZ/∂h, portanto é função da altura ao solo do veículo, área frontal e a pressão dinâmica. Na verdade, essa rigidez aerodinâmica depende da velocidade, porque a pressão dinâmica depende da velocidade. Embora ∂CZ/∂h também seja dependente da velocidade, esta proporção também está conectada com outros parâmetros. Por exemplo, rigidez da suspensão. Portanto, o cálculo é mais simples.

q_∞ = ½∙ρ∙U_∞² = ½∙1.2∙10² = 60 Pa

μ∙(m∙g + L) = m∙U²/R → R = m∙U²/[μ∙(m∙g + L)]

L = q_∞∙C_L∙A = 60∙1∙1 = 60 N → L = – 60 N (Downforce)

R = 480∙10²/[1∙(480∙10 + 60)] = 48000/4860 = 9.877 m

Nestes cálculos foi possível perceber duas equações para calcular a força lateral em um veículo, [μ∙(m∙g + L)] e m∙U²/R. Este último é o componente definido pela dinâmica e geometria do veículo. Então esse é o limite que o carro não consegue ultrapassar. Assim, o primeiro componente deve ser igual ou inferior ao limite geométrico. Por fim, observa-se que existe um raio de curvatura máximo que o carro pode percorrer. Outra conclusão é que este carro tem uma carroceria aerodinâmica, que produz uma pequena sustentação (downforce, neste caso), mas ainda tem algum impacto na capacidade de curvas do veículo.

Questão 2 – Calcule β(x) no ponto de separação

Neste caso é importante entender como o escoamento se comporta sobre um corpo aerodinâmico. Considerando a seguinte equação, válida para perfis de asa sob efeito solo e baixo ângulo de ataque α:

CL = 2π[1 + (c/4h)²]α; α [rad]

O ponto é que a posição em que ocorre a separação é dada quando o gradiente de velocidade desaparece na parede, conforme descrito abaixo:

∂u/∂y = 0 ; for (x_S , y = 0)

Portanto, o seguinte procedimento é realizado:

U(η) = U_∞[(η – 1)³∙(η + 1) – β(x)∙η∙(η – 1)³ + 1] ; η = z/δ(x)

U(η) = U_∞[(z/δ(x) – 1)³∙(z/δ(x) + 1) – β(x)∙(z/δ(x))∙(z/δ(x) – 1)³ + 1]

U(η) = U_∞[(z²/δ(x)² -2z/δ(x) + 1)∙(z/δ(x) + 1) – β(x)∙(z/δ(x))∙(z³/δ(x)³ -3z²/δ(x)² + 3z/δ(x) – 1) + 1]

U(η) = U_∞[(z³/δ(x)³ -3z²/δ(x)² + 3z/δ(x) – 1)∙(z/δ(x) + 1) – β(x)∙(z/δ(x))∙(z³/δ(x)³ -3z²/δ(x)² + 3z/δ(x) – 1) + 1]

U(η) = U_∞[(z⁴/δ(x)⁴ + z³/δ(x)³ – 3z³/δ(x)³– 3z²/δ(x)² +3z²/δ(x)² + 3z/δ(x) – z/δ(x) – 1)

– β(x)∙(z⁴/δ(x)⁴ – 3z³/δ(x)³ + 3z²/δ(x)² – z/δ(x)) + 1]

U(η) = U_∞[(z⁴/δ(x)⁴ – 2z³/δ(x)³ + 2z/δ(x) – 1) -β(x)∙(z⁴/δ(x)⁴ – 3z³/δ(x)³ + 3z²/δ(x)² – z/δ(x))]

∂u/∂z = U_∞[(- 2∙4z³/δ(x)⁴ – 2∙3z²/δ(x)³ + 3∙2z/δ(x)² + 2/δ(x) – 1)

– β(x)∙(4z³/δ(x)⁴ – 3∙3z²/δ(x)³ + 3∙2z/δ(x)² – 1/δ(x))]

Como a condição de separação é a velocidade desaparecendo na parede, z = 0:

∂u/∂z = U_∞[(– 2∙4z³/δ(x)⁴ – 2∙3z²/δ(x)³ + 3∙2z/δ(x)² + 2/δ(x))

– β(x)∙(4z³/δ(x)⁴ – 3∙3z²/δ(x)³ + 3∙2z/δ(x)² – 1/δ(x))]

∂u/∂z = U_∞[2/δ(x)) – β(x)∙(- 1/δ(x))] = U_∞(2/δ(x)) + β(x)/δ(x)) = 0

2/δ(x) = – β(x)/δ(x) → β(x) = – 2

Como pode ser visto, β(x) = – 2, pois esta definição de separação estabelece que ela ocorre apenas na parede. O valor de – 2 indica que há separação, pois β(x) é uma função decrescente que indica uma possível separação da camada limite. Assim, β(x) deve ser negativo para ocorrer a separação.

Questão 3 – Indique a faixa β(x) na qual o gradiente de pressão da camada limite é adverso

Esta questão propõe a definição da faixa de β(x) na qual o gradiente de pressão é adverso. Isso é definido pela curvatura do perfil de velocidade β(x), seu sinal é o mesmo que o gradiente de pressão. Portanto, para calcular β(x) cujo gradiente de pressão é adverso:

∂²U/∂y²|_w = μ^-1∙(dP/dx)|_w ≈ μ^-1∙(dP/dx)

Para separação, o gradiente de pressão deve ser adverso, o que significa que a condição pode ser escrita como:

dP/dx > 0

Assim, os cálculos são:

∂u/∂z = U_∞[(- 4z³/δ(x)⁴ – 2∙3z²/δ(x)³ + 2/δ(x))

– β(x)∙(4z³/δ(x)⁴ – 3∙3z²/δ(x)³ + 3∙2z/δ(x)² – 1/δ(x))]

∂²u/∂z² = U_∞[(- 4∙3z²/δ(x)⁴ – 2∙3∙2z/δ(x)³)

– β(x)∙(4∙3z²/δ(x)⁴ – 3∙3∙2z/δ(x)³ + 3∙2/δ(x)²))]

Novamente, uma vez que esses cálculos são relativos às condições na parede:

∂²u/∂z² = U_∞[(– 4∙3z²/δ(x)⁴ – 2∙3∙2z/δ(x)³)

– β(x)∙(4∙3z²/δ(x)⁴ – 3∙3∙2z/δ(x)³ + 3∙2/δ(x)²))]

∂²u/∂z² = U_∞(- 6β(x)/δ(x)²) = – β(x)∙(6U_∞/δ(x)²)

Como as condições para o gradiente de pressão adverso são dp/dx > 0 e du/dx < 0:

∂²U/∂y²|_w = μ^-1∙(dP/dx)|_w ≈ μ^-1∙(dP/dx)

– β(x)∙(6U_∞/δ(x)²) = μ^-1∙(dP/dx) → dp/dx = – β(x)∙(6μU_∞/δ(x)²) ; β(x) < 0

Portanto, β(x) deve ser negativo, pois U∞ e δ(x)² são grandezas positivas, logo os resultados anteriores de β(x) = – 2 estão corretos.

Questão 4 – Calcule o ângulo de ataque para uma corda c = 3,2 me altura de percurso h = 0,4 m

Considerando que a asa está sob efeito solo e baixo ângulo de ataque, a equação para o coeficiente de sustentação é dada por:

C_L = 2π[1 + (c/4h)²]α = 2π[1 + (3.2/4∙0.04)²]α → 10πα = 1.0 → α = 1/π10 rad ≃ 0.032 rad

Agora é possível calcular o arrasto do veículo já que αi = 0,06 rad. Supondo que a carroceria aerodinâmica deste carro tenha um perfil semelhante a uma asa elíptica.

α_i = C_L/(πAR) → AR = C_L/(πα_i)

C_D,i = C_L²/(πAR) = C_L∙α_i = 1∙0.06 = 0.06

Di = q_∞∙c∙C_D,i = 60∙3.2∙0.06 = 11.52 N/m

Finalmente, a componente de velocidade descendente pode ser definida de acordo com o ângulo de ataque induzido ilustrado na Figura 1:

α_i = arctan(-w/U_∞) = – w/U_∞ → w = – U_∞∙α_i = – 10∙0.06 = – 0.6 m/s

Conclusão

Na verdade, o ponto principal desta questão é o efeito da aerodinâmica no desempenho do veículo. Como pode ser visto, pela equação:

μ∙(m∙g + L) = m∙U²/R

A força aerodinâmica L determina se o carro pode ou não fazer uma curva pela velocidade solicitada pelo motorista. A suposição feita nesta questão apenas simplifica a carroceria do veículo em uma carroceria aerodinâmica. No entanto, carros e até carros de corrida são considerados corpos rombudos, portanto, o arrasto de forma é mais relevante. De qualquer forma, a equação acima pode ser aplicada, mas se o carro for uma carroceria rombuda, sua asa não. Portanto, as considerações sobre asa elíptica são as mesmas aplicadas neste exercício. Novamente, os valores dos gradientes de velocidade e pressão definem a situação do fluxo, quando o primeiro é zero e o gradiente de pressão é positivo, o fluxo tende a se separar. Esta é uma condição extremamente importante para entender onde o fluxo se separa ao longo da carroceria do carro de corrida.

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