A camada é algo que pode ser considerado um material elementar. O laminado é uma fronteira entre o que pode ser um material e o que pode ser uma estrutura. Os materiais sanduíche são os utilizados na fabricação, enquanto as placas sanduíche são a estrutura elementar que pode ser moldada e unida para estruturas mais complexas. Uma placa sanduíche pode ser tratada usando a teoria clássica da laminação.

Princípios básicos

Um painel sanduíche é definido, do ponto de vista estrutural, como uma construção de revestimento tensionado, porque as tensões passam mais através dos revestimentos frontais. São aqueles que resistem às cargas aplicadas lateralmente.Ou seja, resiste a cargas aplicadas nas bordas das placas, que provocam cargas no plano devido a momentos fletores ou torcionais. Conseqüentemente, se uma estrutura em sanduíche for puxada ou empurrada, a pele será mais tensionada do que o núcleo, porque este é muito mais flexível e menos rígido. Portanto, as tensões passarão por toda a pele. Contudo, se a sanduíche for dobrada, as tensões devidas à dobragem serão aplicadas ou sustentadas principalmente pelas películas. O núcleo tem a função de manter unida a deflexão das películas como, por exemplo, em uma viga I. Trata-se de uma viga estrutural com seção transversal em forma de I, essas vigas possuem duas alas que são conectadas por um banzo interno e suportam as cargas de cisalhamento. Um conceito básico de projeto para placas sanduíche, já que os revestimentos são o elemento mais estrutural destas, é que o melhor desempenho, principalmente no caso de flexão ou torção, será obtido espaçando o máximo possível os revestimentos.

O caso de uma viga I possui algumas variantes, como aquelas com flanges grossos e alma curta, ou flanges finas e almas longas. Considerando que estas ligações (Figura 1) possuem o mesmo material e área de seção transversal, esta última é muito mais eficiente em termos de sustentação das cargas causadas por flexão e torção. Em termos de cargas da membrana, aquela que não ocorre em flexão ou torção, é menos importante ter uma secção bastante esbelta. Porém, em termos de flexão e torção, é muito importante. A diferença entre a placa sanduíche e os laminados compósitos em geral, em termos de aspectos de design, é que o primeiro é composto por duas películas e um núcleo em favo de mel.

A Figura 2 ilustra este caso, onde as 2 películas possuem m camadas e estas são separadas pelo favo de mel, que pode ser visto como uma camada espessa. O laminado compósito, na configuração vista na Figura 2, teria núcleo como uma camada espessa. Portanto, isso inclui os efeitos das tensões de cisalhamento, das cargas de cisalhamento e da deformação sob as tensões de cisalhamento. O favo de mel, por exemplo, é bastante deformável, pois é uma estrutura vazia, embora seja metálica. A espuma polimérica é outro exemplo de material muito macio. Alguns aspectos da teoria clássica da laminação geralmente não são levados em consideração, como a deformação por cisalhamento fora do plano das camadas. Portanto, a principal diferença entre estruturas sanduíche e materiais compósitos, em termos de procedimentos de projeto, é a compreensão do efeito das propriedades de cisalhamento do núcleo na deflexão, flambagem e tensões do painel sanduíche.

Modos de falha

A partir dos modos de falha é possível compreender quais são os tipos de força que devem ser mantidos sob controle. Os modos básicos de falha consideram que ocorrerá alguma deformação plástica ou desbotamento levando em consideração que as placas sanduíche nem sempre são feitas de películas compostas. Nem sempre são feitos de camadas de carbono ou fibra de vidro. Porém, em muitas aplicações são utilizadas folhas de alumínio. Na construção náutica e em cargas frigoríficas, por exemplo, são utilizadas películas de alumínio. Estes podem ceder antes da falha (face yielding), ou seja, sofrer alguma deformação plástica. Este não é o caso, normalmente, de películas compostas. Um segundo modo importante de falha é o cisalhamento do núcleo (core shear). Neste caso, o núcleo suporta as cargas de cisalhamento, portanto provavelmente romperia sob cisalhamento com uma trinca que seria aproximadamente orientada de acordo com a direção principal da tensão. No caso de cisalhamento, isso é cerca de 45°. Outra falha por cisalhamento é causada por algum desalinhamento na estrutura. Isto gera uma flambagem local, a seção é transformada em uma ruptura por cisalhamento do núcleo. Isso também é chamado de crimpagem por cisalhamento (shear crimping). Existe também a possibilidade de o sanduíche sofrer com a flambagem geral (general buckling). Na maioria dos casos em que ocorre flambagem geral, os painéis são grandes, mas não muito grossos. Portanto, trata-se de um caso em que uma compressão encurvala a estrutura, o que resulta na sua instabilidade elástica. Na verdade, existem outros modos de falha que geralmente são locais, não globais. Estas são as rugas e covinhas (face wrinkling and face dimpling). O primeiro significa que o revestimento do material entra ou se desprende localmente do núcleo, como pode ser visto na Figura 3. Este pode ser um caso em que há uma ligação fraca entre a pele e o núcleo, então sob compressão ou flexão, é possível haver uma instabilidade local da pele. O resultado é uma espécie de movimento. Nas covinhas do rosto, a ondulação ou pêssego do miolo aproxima-se, em alguns casos, de um dos modos de flambagem da pele. Na verdade, estes não estão próximos do primeiro modo de encurvadura das películas, mas são semelhantes a um modo de encurvadura superior. Esta é a covinha. A indentação local é baseada na ocorrência de carga muito concentrada em uma placa sanduíche. O núcleo falhará sob compressão e então se deformará de forma permanente, o que caracteriza a indentação local (local indentation).

Princípios de design

Esses modos parecem ser bastante complicados, para um engenheiro é melhor pré-projetar uma placa sanduíche de acordo com alguns desses mecanismos de falha e depois verificar a ocorrência dos outros mecanismos de falha. Na verdade, é mais importante, para o pré-dimensionamento, ter em conta que os revestimentos não irão falhar sob este tipo de carga. Eles devem ser suficientemente pegajosos para suportar as cargas de projeto. A segunda condição importante é que o núcleo seja suficientemente espesso e tenha rigidez de cisalhamento suficiente, de modo que a deflexão seja de alguma forma limitada em relação aos parâmetros prescritos. Além disso, a ruptura por cisalhamento não deve ocorrer sob a carga prescrita, que é o modo de ruptura por cisalhamento do núcleo ilustrado na Figura 3. Em outras palavras, a peça está sendo projetada contra a ruptura do núcleo, além das possíveis limitações de deflexão devido à flexão. Basicamente, o dimensionamento é feito contra condições de escoamento e ruptura por cisalhamento do núcleo, então as demais condições serão verificadas. O terceiro princípio básico de design é não apresentar rugas e ondulações. Finalmente, deve-se verificar se a ruptura da tensão de cisalhamento pode ser suportada pela ligação entre as películas e o núcleo.

Fórmulas fundamentais

Depois de verificados os princípios básicos de projeto, é importante compreender as fórmulas fundamentais que descrevem os componentes sanduíche.

Rigidez à flexão de uma viga sanduíche (camadas iguais)

Considerando a deflexão de uma viga sanduíche, é importante ter uma rigidez à flexão compreensível. Isto é algo que está relacionado, por definição da teoria da viga, ao módulo de elasticidade no eixo de flexão, ao momento de inércia e à largura da secção. Assim, se substituirmos o valor de cada uma destas componentes nas fórmulas seguintes, é possível obter a soma do momento de inércia da componente única da secção mista.

I_c = b•h³/12 ; I = A(d/2)²

A primeira fórmula está relacionada ao núcleo, o momento de inércia em relação ao eixo Y do núcleo. É dado por Ic, o momento de inércia de uma seção retangular. Então, Ic é multiplicado pelo módulo de elasticidade do núcleo, que é a rigidez à flexão do núcleo (Figura 4). O mesmo se aplica à rigidez à flexão das películas. A diferença, neste caso, é que o primeiro termo (Figura 4), aquele que multiplica o módulo de elasticidade dos revestimentos, pela altura do revestimento à terceira potência, é a rigidez à flexão ao longo do eixo que passa através da seção das peles. O segundo termo é o momento de inércia de transporte.

A Figura 5 ilustra um corte b•hf que está localizado a uma distância d/2, a distância entre o centro das películas. O momento de inércia do transporte é dado por:

I = (b•h_f³/12) + b•h_f(d/2)²

Se houver duas seções iguais e estas estiverem localizadas em direções opostas em relação ao eixo Y, o momento de inércia de transporte será 2 vezes esta equação. A partir das Figuras 4 e 5 é possível compreender todos os componentes da rigidez à flexão. hf e hc referem-se à altura que vem do revestimento e às que vem do núcleo, respectivamente. Se a equação da Figura 4 for reorganizada de forma a evidenciar o módulo de elasticidade dos revestimentos, a altura dos revestimentos e o valor quadrado da distância, então os termos entre colchetes ficam mais claros de serem lidos. São três, a relação entre o módulo de elasticidade dos revestimentos e do núcleo, a taxa de altura dos revestimentos e a distância entre eles. O último termo é um valor constante 1/2. Se esta equação for traçada de forma que o eixo Y seja D_x/(E_x^f•h_f•d) e o eixo x seja hc/hf, o primeiro termo é normalmente bastante desprezível. A razão é que o módulo de Young do núcleo é ordens de grandeza inferior ao dos revestimentos. Por exemplo, para uma espuma polimérica, o módulo de Young pode ser décimos de gigaPascal (GPa). O módulo de Young dos revestimentos é cerca de três ordens de grandeza superior ao da espuma polimérica. Em se tratando de um favo de mel de alumínio, apesar de este ser inferior, este tipo de núcleo possui uma quantidade de material muito pequena considerando o volume que ocupa. Portanto, com base na regra das luminárias, também o módulo de Young terá influência muito baixa aqui.

A diferença pode ser feita pelo termo (hf/d)²/6. Se a equação traçada levar em conta este e o último termo (1/2), então é possível chegar à conclusão de que o valor de hf/d será muito baixo. Considerando uma situação em que (hf/d)²/6 é apenas 1% do terceiro termo (Figura 6). É possível admitir, em termos de engenharia, que o primeiro termo é desprezível em relação ao segundo termo. Portanto, se a altura do núcleo for 5-6 vezes maior que a altura do revestimento, o laminado estará no limite da aproximação da face fina. Isto significa que a rigidez à flexão está apenas relacionada com a rigidez à flexão dos revestimentos espaçados cada um por uma distância d (Figura 6). Também é possível observar alguma correlação com a densidade (ρ* e ρf). A razão entre a densidade da placa sanduíche em relação à densidade do laminado (ρ*/ρf) também apresenta um valor assintótico, quando plotada contra hc/hf. Porém, após o limite de aproximação de face fina, ρ*/ρf tende a um valor constante. Portanto, é melhor, como regra geral, manter o valor de hc/hf acima de 5-6. Esse valor não é tão alto, na verdade. Se os revestimentos tiverem alguns milímetros, significa que a altura do núcleo será de cerca de 10-12 mm, portanto não é um valor alto. A relação ρ*/ρf é importante, pois o interesse é que as películas suportem as cargas de flexão e deformações, enquanto o núcleo apenas resista às cargas de cisalhamento, que estão relacionadas à flexão. Caso contrário, se o laminado estiver abaixo do limite de aproximação da face fina, então o núcleo também suportará algumas cargas de flexão, o que não é desejável.

Rigidez à flexão para uma viga sanduíche com diferentes camadas

A Figura 7 ilustra as equações de rigidez à flexão para uma placa sanduíche com diferentes revestimentos. Estes apresentam diferentes espessuras e módulos de Young. Na verdade esta configuração não é muito utilizada, mas existem laminados com materiais diferentes para um dos lados. Isso geralmente é aplicado para casos em que o laminado fica exposto a diferentes ambientes em cada revestimento. No caso de laminados de películas iguais, a fórmula aplicada é a da Figura 4, que é adaptada para o caso da Figura 7. Esta última possui a inclusão do termo λ. Isso é igual a:

λ = 1 – ν_xy•ν_yx

λ = 1 – ν² → Isotropic materials

O termo λ para materiais isotrópicos acaba sendo o denominador da equação da Figura 7, pois está sendo considerada uma placa, portanto uma estrutura que se deforma em duas direções. Portanto, o índice de Poisson deve ser contabilizado. Em termos de caixas de placas sanduíche, não há diferenças significativas nas fórmulas.

Tensão nas folhas de face e núcleo de uma viga sanduíche (camadas iguais)

A tensão para uma viga sanduíche com camadas iguais (Figura 8) tem uma aproximação básica que é a camada fina/núcleo complacente. Isto segue os princípios de projeto já investigados, segundo os quais as tensões principais são suportadas pelos revestimentos, enquanto as tensões de cisalhamento são suportadas pelo núcleo. Uma forma interessante de entender este conceito é considerar uma porção infinitesimal da estrutura sujeita à flexão (Figura 8). Como pode ser visto, existe um momento fletor de um lado e do outro lado é possível supor que este é suportado por algumas forças. Estes atuam de forma a gerar uma tensão de tração no revestimento superior e de compressão no inferior. Essas forças estão espaçadas por uma distância d, que é a distância entre a linha central das películas. Portanto, a força que causa essas tensões é simplesmente M/d. Supondo que o laminado esteja exposto a tensões constantes na membrana, a força é dividida pela área da seção (b•hf). Portanto, o resultado é a tensão (σ) vista na Figura 8. Na verdade, as tensões constantes na membrana são uma aproximação, uma vez que o momento fletor não dará uma distribuição de tensão constante. Em geral, a distribuição de tensão calculada na Figura 8 é, na verdade, um valor médio calculado ao longo da seção das películas.

A distribuição de tensões, no caso de flexão em uma seção como a vista na Figura 8, está representada na Figura 9. No caso de núcleo complacente, que suporta apenas cargas de cisalhamento, as tensões de flexão são zero no núcleo e linear distribuição na espessura das películas. Isto é calculado desta forma, pois se a pele for muito fina, a diferença entre o valor mínimo e o valor máximo é insignificante. Assim, é possível simplificar o problema do cálculo da tensão apenas tomando o valor médio. Devido ao momento fletor, existe uma força cortante descrita na Figura 9 por Q. Esta será totalmente suportada pelo núcleo e a tensão cortante pode ser calculada por Q/(b•d), conforme visto na Figura 9. Porém, isso também é uma aproximação, pois a tensão de cisalhamento é constante no núcleo, portanto esta tem uma distribuição constante dentro do núcleo. Outra razão é que as películas têm um impacto insignificante nos cálculos, que é a aproximação da película fina. Assim, por coerência, se σ for calculado utilizando a abordagem vista na Figura 9, τ deverá ser calculado pelo mesmo método (Figura 8 e 9). Esta foi uma demonstração de que as cargas de cisalhamento são na verdade uma derivada dos momentos fletores.

Tensão nas folhas frontais e no núcleo de uma placa sanduíche

No caso de uma placa com diferentes películas, espessuras e materiais, não existem muitas formas de calcular as tensões. Um deles é uma espécie de análise numérica. A Figura 10 ilustra uma formulação geral para n tipos de apoios, placas e restrições, que estão analiticamente disponíveis. Se for possível calcular os momentos ou as forças que atuam na placa, então é possível utilizar a teoria clássica da laminação (CLT) desprezando apenas a contribuição do núcleo. Isto é dado pelas matrizes A, B, C e D, também chamadas de matrizes ABDB em algumas literaturas, e dada a relação entre cargas, deformações da membrana e curvaturas da placa. Semelhante ao caso do CLT aplicado a laminados a granel. Isso significa que podem ser utilizados os mesmos tipos de cálculo para calcular os termos da matriz ABCD que foi explicada na Figura 11.

Quando os termos possuem o número 1 entre parênteses, significa que se referem à primeira pele, então o número 2 se refere à segunda pele. Assim, as equações são referidas apenas à pele e não ao núcleo, pois esta é negligenciada por não contribuir para os termos desta matriz. No caso de películas simétricas, as matrizes B e C tornam-se zero. Assim, as tensões em cada camada da pele podem ser calculadas pela mesma abordagem para laminados compósitos a granel. Neste caso, as tensões no núcleo são apenas o valor da tensão de cisalhamento nas direções x ou y dividida pela altura do núcleo. Então, não é necessário realizar nenhum outro cálculo para isso.

Deflexão da viga sanduíche carregada simetricamente

Nos casos de viga sanduíche, devem ser unidas duas camadas que resistam à flexão e aos núcleos complacentes. Este último resiste às cargas de cisalhamento. Portanto, provavelmente não está sendo respeitada a regra básica, que estabelece o descaso com a conformidade ao cisalhamento. Ao realizar cálculos com a teoria do feixe de Timoshenko, a conformidade pode ser negligenciada. Daí, neste caso, as deformações por cisalhamento. Este não é o caso do exemplo da Figura 12. Trata-se de uma viga sanduíche submetida a uma flexão de três pontos, que se apoia em dois apoios e uma carga no meio. Esta situação apresenta uma deformação por flexão, que é caracterizada pelo deslocamento w1. Ainda na Figura 12 é possível observar a deformação por cisalhamento, principalmente o cisalhamento do núcleo. Isto é caracterizado pelo deslocamento e pelo ângulo de rotação w2 e w2′. Conseqüentemente, essas seções (Figura 12) giram devido à flexão e devido ao cisalhamento e deslocamento devido a essas cargas. Se esta componente for bastante baixa, pode ser calculada com meios matemáticos analisados ​​até agora, mas as deformações de cisalhamento não são totalmente conhecidas em termos de procedimento de cálculo.

Deflexão de uma viga sanduíche carregada simetricamente

A Figura 13 ilustra uma seção submetida a cisalhamento. W2′ é o ângulo de rotação em relação ao cisalhamento, enquanto γ é a rotação apenas da seção do núcleo. O segmento BC é o resultado de uma rotação no núcleo que inicialmente era um segmento BF. Portanto, γ leva em conta apenas a rotação do núcleo. Porém, a rotação total é diferente da rotação do núcleo. A razão é que existe a espessura dos dois revestimentos que não se deformam conforme a espessura do núcleo. É possível estimar o ângulo de rotação devido ao cisalhamento W’, que é dado pela derivada de W2′ ao longo do eixo da viga (Figura 13). Esta é uma proporção de γ e a razão de c/d. Isso se baseia no fato de que a distância de C e D é a mesma. Como esta distância é a mesma, os ângulos são proporcionais à distância entre os pontos C e D. Assim, o ângulo γ pode ser calculado apenas conhecendo as cargas de cisalhamento Q, o módulo de cisalhamento do núcleo G e da seção C. O a rigidez ao cisalhamento do núcleo é dada por V, que é igual a C•G. Portanto, o ângulo W’ é igual a Q/V. Isso significa que, como W2′ também é a derivada do deslocamento cortante, ela é integrada para obter a última equação vista na Figura 13. No caso de uma viga com carga no meio, W/2 é apenas a carga cortante. A constante de integração normalmente depende da condição de contorno. Porém, no caso de uma viga de flexão de três pontos, a rotação é zero nas extremidades, portanto a constante de integração é zero.

∆₂ = WL/(4V)

∆ = ∆₁ + ∆₂ = (WL³/48D) + (WL/4V)

w₂ = (M/V) + cte

Isto significa que é possível calcular o deslocamento máximo devido ao cisalhamento da viga, que assume o valor ∆2 a uma distância de x = L/2. O deslocamento total considera os termos devidos à flexão, que depende da rigidez à flexão da viga, e o segundo termo (Figura 14), que depende da rigidez ao cisalhamento. Este termo, no caso de vigas isotrópicas ou de Timoschenko, é desprezível, o que não é o caso das vigas sanduíche. É possível notar que o termo W•L/(4V) é o momento fletor no meio da viga, que é o valor máximo. Portanto, a deflexão de cisalhamento é o momento fletor dividido pela rigidez de cisalhamento mais uma constante que depende da rigidez de cisalhamento.

Deflexão de uma viga sanduíche carregada assimétricamente

No caso de uma placa sanduíche assimétrica, o cálculo da deflexão de cisalhamento é um pouco mais complexo. A rotação W2′ é calculada no mesmo processo anterior, mas há um termo adicional γ0, que vem das condições de contorno. Isso significa que a carga é deslocada do meio da viga.

Outros casos

Existem alguns outros casos em relação aos pratos sanduíche. Por exemplo, a deflexão em placas sanduíche simplesmente suportadas e carregadas simetricamente com revestimento e núcleo isotrópicos, é o caso em que a placa é suportada ao longo de todos os limites da placa. A força ou carga está concentrada no meio. Existe também um caso semelhante, mas com apoio simples ou parcial e cargas simétricas ou assimétricas. Nesses casos, o apoio não é distribuído ao longo dos limites. O cálculo para este caso normalmente é feito por solução numérica via Método dos Elementos Finitos (MEF). Neste caso, os apoios ficam apenas nas bordas, o que provoca uma deformação que, mesmo em carregamento simétrico, é assimétrica. No entanto, o suporte ao longo das bordas é bonito o suficiente para estabilidade. Apesar de as tensões poderem ser estimadas pela teoria clássica da laminação, as deformações, especialmente as de cisalhamento, não são fáceis de estimar.

Referências

• Carlsson, L.A. Kardomateas, G.A. Structural and failure mechanics of sandwich composites. Springer, 2011;
• MIL-HDBK-23-A, Structure Sandwich Composites. Department of Defence, DoD USA, 1974;
• DIAB Sandwich Handbook, DIAB AB, Sweden.