Teoria do atrito de pneus em superfícies rugosas: uma leitura acadêmica da abordagem multiescala de Persson
O atrito entre um pneu (borracha viscoelástica), comumente chamado de grip em transmissões de corridas automobilísticas, e um substrato rígido e rugoso (asfalto) pode ser decomposto em duas contribuições: adesão e histerese. Na formulação de Persson, a histerese é dominada pela resposta espectral da borracha ao campo de tensões que aparece quando o pneu desliza sobre um espectro multiescala de comprimentos de onda da superfície; a resposta máxima ocorre quando a frequência efetiva ω ≈ v/λ coincide com a frequência em que Im{E*(ω)}/|E*(ω)| atinge o pico (transição borrachosa↔vítrea).
A teoria do contato de Persson integra, em espaço‑q (vetor onda ou numero de onda), a densidade espectral de altura C(q), a fração de área de contato efetivo P(q) e o módulo complexo E*(qv cos φ), resultando numa expressão fechada para o coeficiente de atrito cinético em regime permanente. A teoria prevê regimes de quase independência de μ em relação à pressão nominal quando σ₀ ≪ E(0), explica a forte redução do atrito em pista molhada ou contaminada (elevação do cut‑off inferior) e racionaliza por que todas as escalas de rugosidade importam para a forma e a altura da curva μ(v).
1. Introdução e escopo
O atrito de borracha em substratos rígidos é um problema central em projeto de pneus e outras aplicações (wipers, vedações), distinguindo‑se de contatos sólido‑sólido por combinar baixo módulo elástico e alto atrito interno em ampla faixa de frequência. A decomposição em adesão + histerese é padrão; a histerese advém do amortecimento interno por deformações oscilantes, enquanto a adesão é mais relevante em superfícies limpas e lisas. Instabilidades como Schallamach waves podem surgir em superfícies muito lisas, mas não são foco do termo histerético da formulação.
Para pneus em asfalto, a contribuição histerética costuma dominar, dado o caráter multiescala da rugosidade entre cortes inferior e superior. Este artigo sintetiza a formulação de Persson para fricção de deslizamento em superfícies self‑affine e discute consequências para pneus de rua e de competição.
2. Superfícies self‑affine, Hurst e cut‑offs
Muitos pavimentos asfálticos são aproximadamente self‑affine em um intervalo finito de escalas, com dimensão fractal Df = 3 − H (0 < H < 1). E aqui se faz necessário um parêntese. O termo self-affine se refere a superfícies auto afim. Uma superfície é comumente caracterizada por sua rugosidade, que é medidas por equipamentos como um profilometro ou um scanner. Após a medição a rugosidade è convertida em dados estatísticos como media, desvio padrão e, o mais importante, a densidade espectral de potencia. Quando uma superfície é definida como auto afim ou self-affine, isso significa que suas propriedades estatísticas são invariáveis quando ampliadas. Entretanto, essas propriedades varia para as ao longo dos eixos x-y e z.
Uma metáfora interessante é lembrar dos protetores de tela de computadores nos anos 90. Um dos mais populares era de um cubo que era ampliado (zoom) ate que saiam um outro cubo igual de dentro do cubo. Se considerarmos que esse novo cubo tivesse dois lados iguais mais uma altura diferente do cubo anterior (de onde ele foi ampliado), poderíamos dizer que estamos diante de um “cubo self-affine”. Não importa o quanto se amplie, sempre vai sair um cubo com alguns lados similares e outro diferente. Esse conceito foi observado em superfícies importantes como asfalto, gelo, metal fraturado e borracha desgastada. Portanto, rodovias, pistas de competições automobilísticas, aeroportos e autoestradas são consideradas superfícies self-affine.
Se ampliarmos o asfalto, observaríamos, na escala de centímetros, pedregulhos grandes, na escala de milímetros, agregados, na escala de 100μm, microfraturas e relevos e na escala de 10 μm, minerais e pó compactado. Isso nos sugere que o atrito gerado vai depender da faixa de escala usada, que no método de Persson é chamada de cut-off length. Existem dois cut-off, o superior e o inferior.
Para pistas, o cut‑off superior λ₀ está tipicamente na ordem de milímetros (tamanho dos agregados), enquanto o cut‑off inferior λ₁ pode chegar a dezenas de micrômetros nas medições; porém o cut‑off inferior efetivo frequentemente aumenta devido a contaminação (poeira, negro‑de‑fumo, sílica, partículas de freio) e/ou filmes de fluido.
Sabendo dessa de variação e de como as propriedades estatísticas variam com ampliação, isto é auto‑afinidade implica invariância estatística sob x→ζx, y→ζy, z→ζHz, a densidade espectral de potência da rugosidade C(q) segue lei de potência para intervalo q0 ≤ q ≤ q1 (com q = 2π/λ) permitindo uma integração espectral do problema de atrito e de contato.
3. Moldura viscoelástica e frequência efetiva ω ∼ v/λ
Quando um bloco de borracha desliza a velocidade v sobre rugosidades de comprimento de onda λ, as asperidades impõem tensões pulsantes cuja frequência característica escala como ω ≈ v/λ. A contribuição de cada escala para o coeficiente de atrito μ é máxima quando ω coincide com o pico de Im{E*(ω)}/|E*(ω)| (transição borrachosa↔vítrea). A janela de relaxação é larga ( ≳ 3 ordens de grandeza), de modo que vários picos (um por escala) se deslocam ao longo do eixo de velocidade, alargando μ(v).
Essa ligação dinâmica entre o espectro de rugosidade e o espectro reológico de E*(ω) é o centro da abordagem de Persson: não existe um “λ típico” suficiente; é necessário integrar todas as escalas relevantes ponderando C(q) e P(q).
Basicamente, o que Persson estabeleceu é que as características da superfície e da borracha definem o atrito. Considerando a borracha, esta é um elastômero, que muda seu comportamento de acordo com a frequência de excitação. Considerando um pneu, seria a velocidade angular deste em radianos. Assim, cada micro impacto de uma asperidade na borracha da banda de rodagem do pneu terá um efeito diferente pois depende de λ de ω. Dessa forma, pode-se ainda concluir que, pneus e carros diferentes produzem forças diferentes em uma mesma pista. A densidade espectral de potencia C(q) vai mensurar a qualidade dessa superfície (pista), enquanto a razão das áreas de contato P(q) vai definir quanto de borracha do pneu consegue efetivamente tocar as asperidades da superfície.
4. Energia dissipada, C(q) e a expressão geral de atrito
A medida que uma borracha desliza sobre uma superficie self-affine, esta dissipa energia de algumas formas, devido ao atrito da borracha com a asperidades e devido ao atrito interno da borracha. São formas de dissipação de energia caracterizadas no domínio (q,ω). Assim igualando as formas de energia dissipada (via campo de tensões vs. via campo de deslocamentos), obtém‑se a tensão de atrito proporcional à parte imaginária do operador elástico (via E*) ponderada por ⟨h(q)h(−q)⟩ ∝ C(q), com núcleo do tipo q² cosφ · C(q) · Im{E*(qvcosφ)}. Dividindo pela pressão nominal σ₀, chega‑se ao coeficiente de atrito cinético em regime permanente:
μ(v) = ½ ∫ dq · q³ C(q) P(q) ∫₀^{2π} dφ · [ cosφ · Im{E*(qvcosφ)} / ((1 − ν²) σ₀) ] , q∈[q₀,q₁].
Esta forma é equivalente às equações (22–23) e (30) do artigo de Persson e torna explícita a combinação “rugosidade × contato × reologia”.
5. Contato multiescala e a função P(q)
A área “real” de contato diminui com a magnificação ζ (ou q), porque novos vales aparecem e nem todos podem ser preenchidos à pressão disponível. Persson deriva uma equação de difusão no “espaço de tensões” para a distribuição P(σ,ζ); no regime σ₀ ≪ E(0), obtém‑se a aproximação P(q) ∝ [G(q)]^{-1/2}, com:
G(q) = (1/8) ∫_{q₀}^{q} dq' · q'³ C(q') ∫₀^{2π} dφ · | E*(q'vcosφ) / ((1 − ν²) σ₀) |²
Duas consequências centrais surgem:
(i) Quase independência de μ em relação a σ₀: como P(q) ∝ σ₀, o fator σ₀ cancela em μ e o coeficiente passa a depender sobretudo do perfil de frequências de E*(ω), e não do seu módulo absoluto.
(ii) Convergência ultravioleta: como P(q) ~ q^{-(1+H)}, as contribuições em q muito altos são suprimidas, mantendo μ finito mesmo sem cut‑off atômico. Nessa ponto, Persson usa de forma ate metafórica o termo UV Convergence, ou convergência ultravioleta. Esse nome deriva da física quântica, pois ultravioleta é um espectro de altas frequências, logo pequenas escalas espaciais. Trazendo essa teoria para a borracha e o método de Persson, isso significa que quando o comprimento de onda λ tende a 0, o numero de onda q tende ao infinito. Na pratica, altos valores de q correspodem as rugosidades muito pequenas do asfalto, na escala micro ou nano. Assim, se o modelo de atrito aplicado não considerar limites bem estabelecidos para a aplicação em questão, as integrais acima poderiam não convergir.
Entretanto, no modelo de Persson, não é necessário estabelecer cut-off λ artificial para evitar a divergência. Isso é corrigido pela fração das áreas de contato P(q), pois esta rapidamente decai quando valores excessivamente elevados são aplicados. Isso é possível pois P(q) é dado por:
P ∼ q-(1+H)
Além disso, a densidade espectral também sofre o mesmo decaimento:
C(q) ∼ q-2(1+H)
Dessa forma, por mais que se amplie a escala da superfície (que é determinada pelo termo magnificação ζ), existe um limite no qual superando-o não se obtêm nenhum acréscimo no atrito.
Na aplicação automotiva, esse efeito UV não tem tanto apelo. Os pneus não efetuam contato real com nanoasperidades do asfalto. O contato de um pneu se efetua fortemente nas escalas que mais casam com a característica viscoelástica do pneu. Portanto, a rugosidade da superfície do asfalto abaixo de 1
6. Contaminação e fluido: elevação do cut‑off inferior
O cut‑off inferior efetivo (menor λ que participa) não é apenas intrínseco à superfície: poeira/partículas (talco, negro‑de‑fumo, sílica; debris) e filmes de fluido (água/óleo) preenchem vales e impedem a borracha de penetrar nas micro‑cavidades. Assim, o espectro C(q) efetivo perde conteúdo em altos q e μ cai; esse efeito é observado experimentalmente (e.g., blocos de borracha em carborundum seco/limpo vs. “dusted” vs. molhado com detergente).
Isso explica por que uma pista pode “ganhar grip” após forte chuva e secagem (lavagem de partículas) e também por que “molhado limpo” ainda tende a ter μ menor do que “seco sujo” em determinados cenários, dependendo de quanto do C(q) micro‑escala restou.
7. Pressão, módulo e limites de velocidade
Para σ₀ ≪ E(0), onde σ0 e E(0) são pressão nominal de contato (que calculada através da área nominal de contato – não confundir com área real) e modulo de elasticidade em condição estática, respectivamente, o coeficiente de atrito μ mostra‑se pouco sensível à pressão média, e os efeitos de σ₀ aparecem sobretudo no flanco de baixas velocidades da curva μ(v). Em altíssimas velocidades (regime vítreo onde a borracha se comporta de forma mais rígida; emissão de ondas elásticas), μ pode saturar e tornar‑se aproximadamente independente de v, conforme o termo P(q) passa a compensar a dependência linear esperada.
8. Implicações para pneus (rua × competição)
Para pneus, destaca-se que o atrito é afetado pela temperatura e janela reológica da borracha. Nesse caso, a posição do pico de μ é controlada por E*(ω,T). Em competição, selecionam‑se compostos para que o pico de Im{E*}/|E*| ocorra na faixa de ω imposta por v/λ das escalas ativas da pista; na rua, menores temperaturas/cargas e maior contaminação elevam λ₁ efetivo e reduzem a contribuição micro‑escala.
Outro fator é a largura do pneu. Em pista seca e para σ₀ ≪ E(0), a primeira ordem de independência de μ em relação a σ₀ mitiga o efeito de largura média sobre o atrito; mas fatores práticos, como (i) autocalentamento, (ii) adesão, (iii) distribuição espacial σ₀(x), (iv) hidrodinâmica, podem reinstalar dependências na aplicação real.
O fator ambiental contribui principalmente em superfícies molhadas. O filme d’água remove grande parte das contribuições micro‑escala (altos q), justamente onde estão frequências que “casam” com máximos de Im{E*}; por isso a histerese e μ despencam no molhado. Daí a importância de macrotextura, drenagem e janelas reológicas coerentes com escalas mais longas. Um exemplo disso é observado em pistas de aeroportos, onde ranhuras são construídas para aumentar o grip dos pneus e melhorar a drenagem.
9. Conclusões
A formulação de Persson cria uma ponte quantitativa entre (i) a caracterização espectral da superfície (C(q)), (ii) a mecânica do contato multiescala (P(q)) e (iii) a reologia do composto (E*(ω)), gerando uma expressão integrável para μ que captura: (a) o alargamento de μ(v) pela soma de escalas; (b) a redução do atrito por contaminação/fluido; (c) a quase‑independência de μ quanto a σ₀ em condições típicas de pneus; e (d) a saturação em alta velocidade. Para aplicação, duas mensagens centrais: não desprezar escalas (medir C(q) de forma confiável) e alinhar E*(ω,T) com a janela de frequências real do problema (ω∼v/λ)
