O modelo da escova ou de cerdas, ou modelo brush, é baseado em uma roda unidimensional arredondada por cerdas que toca a estrada. Além disso, estes podem desviar e deformar seu comprimento. As cerdas carregam algumas características importantes dos parâmetros do material do pneu. Existem duas situações principais utilizadas para estudar o comportamento do pneu através do modelo da escova, o rolamento puro e o rolamento não puro. Estes são dados pelas fórmulas na Figura 1. Portanto, uma rolagem pura significa que os elementos da banda de rodagem permanecem verticais e se movem da borda dianteira para a borda traseira. O rolamento não puro significa que o raio de rolamento Re é diferente da velocidade translacional da roda. É nesse ponto que o pneu gera atrito e as cerdas desenvolvem forças. Existem três suposições assumidas pelo modelo de pincel:

• O vetor de deflexão depende apenas do vetor de cisalhamento;
• A rigidez das cerdas é uma proporção escalar entre deformação e tensão;
• A velocidade relativa Vs é paralela à força gerada pelo pneu.

Como pode ser visto, as cerdas são mais deformadas no bordo de ataque, mas quando um ângulo de escorregamento α é aplicado, esta deformação é combinada com uma deformação lateral. Vx é a componente de velocidade longitudinal enquanto Vr é a velocidade longitudinal relativa ao raio de rotação efetivo. Assim, podem ser avaliadas as seguintes situações:

A primeira situação na Figura 2 é o deslizamento lateral puro (primeiro gráfico no topo). A vista superior ilustra que α é o desvio da velocidade de deslocamento V da linha central do pneu. Portanto, V é um vetor que cria dois componentes, a velocidade de escorregamento Vs e uma velocidade longitudinal paralela à linha central do pneu. A segunda situação, é o deslizamento de frenagem puro, que é o gráfico no meio que ilustra a vista lateral do pneu. Neste caso, Vs é menor que Vr. No entanto, Vs mencionado neste caso é o deslizamento longitudinal. Também é possível visualizar a força de frenagem produzida na direção oposta ao movimento. O terceiro caso ilustra a vista superior do pneu e o que acontece quando ocorre um deslizamento combinado. Essa situação pode ocorrer com a combinação de aceleração e cargas laterais ou frenagem e cargas laterais juntas. Como pode ser visto, Vs não é mais um vetor da velocidade de deslocamento. Na verdade, Vs é sempre paralelo à força F gerada pelo pneu. Assim, o ângulo da velocidade relativa Vs será diferente de α, neste caso. Duas conclusões importantes que podem ser tiradas após a análise dessas situações, é o coeficiente de escorregamento para o caso de frenagem e aceleração, os coeficientes de escorregamento teórico e prático, respectivamente:

Essas formulações indicam que a velocidade relativa Vs é igual à velocidade de rolamento Vr. Pelas Figuras 1, 2 e 3 também é possível observar que, as cerdas têm sua raiz fixada em uma estrutura assumida como a carcaça do pneu, enquanto a ponta das cerdas representa o fio. Assim, a raiz da cerda tem um movimento relativo relativo à sua ponta. Isso aumenta do bordo de ataque para o de fuga até o desprendimento das cerdas da superfície. De fato, o modelo do pincel assume que apenas a banda de rodagem é complacente e isso é representado pelas cerdas. Qualquer outro componente do pneu é considerado rígido.

Se comparado com outros modelos de pneus, como feixe, Fiala e Paceijka Magic Formula, o modelo escova é o que apresenta os menores resultados (Figura 4). Na verdade, quantitativamente, este modelo não é adequado, mas qualitativamente é um dos melhores, pois é um dos poucos modelos que correlaciona as propriedades do material com os parâmetros de desempenho dos pneus. O modelo da escova é uma boa representação se a banda de rodagem e a deflexão da correia forem consideradas como um componente.

Assim, o comprimento da cerda é o mesmo, mas com menor rigidez. De fato, a escolha do material afeta a cinta, enquanto a escolha do composto afeta a banda de rodagem.

Distribuição do patch de contato do modelo brush

O modelo brush resume a área de contato em uma linha. No entanto, assume-se que a pressão de contato é constante nas direções laterais, mas muda seu comprimento (Figura 6). Portanto, FZ será uma função de dY.

Portanto, a pressão de contato é apenas uma distribuição parabólica ao longo da direção x e a tensão de cisalhamento de atrito local será definida por μ*qz (Figura 7). Abaixo desse limite, é apenas uma função das propriedades materiais das cerdas.

Escorregamento lateral

Como pode ser observado, existem quatro situações, A, B, C e D, em que α está sendo aumentado (Figura 8). Em valores de α mais altos, algumas partes da área de contato começam a deslizar. Assim, a região de deslizamento torna-se menor à medida que a região de deslizamento se torna maior. Aumentar ainda mais α resulta também no aumento das forças de cisalhamento, mas até certo ponto. Este é um valor limite que qy = μ*qz. Depois disso, o pneu está em plena condição de deslizamento e o pico de aderência é atingido. Portanto, o pneu gera sua máxima aderência na condição de deslizamento total.

O ponto crítico, é a transição da situação B para C (Figura 9), pois não é só a passagem do mecanismo de adesão para o de deslizamento. Na verdade, é a transição do coeficiente de atrito estático para o dinâmico, μs para μk, respectivamente. Portanto, este é o motivo do decaimento visto na Figura acima, que caracteriza uma curva real do pneu. É possível notar que para um α pequeno existe uma condição de μ infinito, o que significa a condição de adesão, sem deslizamento. Portanto, a velocidade de deslocamento pode ser calculada pela seguinte fórmula:

É interessante observar (Figura 10) que partiu da condição de deslizamento combinado e avaliou FY e MZ em função de cpy, que é a rigidez lateral das cerdas por unidade de comprimento. Nestas duas primeiras fórmulas é possível visualizar a principal vantagem do modelo brush, a combinação da área de patch de contato, α e cpy. Em outras palavras, a dimensão da área de contato, velocidade (a partir de α) e propriedades do material da banda de rodagem do pneu, uma conexão com os principais parâmetros do pneu. Quando estes são parcialmente derivados por α e estes tendem a zero, é possível obter a rigidez à curva CFα e a rigidez momentânea CMα , respetivamente. Outro detalhe interessante sobre o modelo brush é a possibilidade de realizar uma analogia tensão-deformação:

cpy é equivalente ao módulo de Young, a tensão de cisalhamento t é equivalente à tensão de cisalhamento local qxy (Figura 11). Assim, qxy é proporcional a cpy e a razão entre esses dois é equivalente à tensão de cisalhamento ε. Portanto, a fórmula da força de cisalhamento pode ser atualizada para a força lateral, que agora depende da área de contato (dx*dy), ε e CP (outra notação para rigidez em curva). Outro caso do modelo brush, é o μ finito ou alto deslizamento e neste é possível visualizar que a analogia tensão-deformação é coerente.

Assim, no ponto limiar, que é a transição entre o comportamento linear e parabólico da banda de rodagem (Figura 12), é possível visualizar que conforme α aumenta, o ponto da Figura 10 vai cada vez mais para o bordo de fuga . Portanto, o pico de aderência representa que todos os pontos como aquele estão na condição de deslizamento. Para encontrar a interseção entre linear e parábola, o procedimento é:

Assim, no ponto de interseção entre essas duas condições a distribuição linear e a parabólica são equivalentes (Figura 13), assim escrevendo qy é igual a qymax é possível encontrar:

θy é o parâmetro do pneu composto, inclui todos os principais fatores do pneu (Figura 14). Como esta condição, μ finito ou alto escorregamento, representa o início do deslizamento, é correto dizer que α nesta condição é o do início do deslizamento, dado por 1/θy. Este é o primeiro ponto na área de contato que descreve que a borracha atingiu seu limite de atrito. Este parâmetro é outro exemplo de que o modelo de pincel é qualitativamente bom devido à correlação entre os principais fatores de um pneu. Pela análise do MZ, é possível observar que:

Assim, é possível concluir que assumindo μs para μk pela correlação escrita acima, MZ se comporta conforme ilustrado na Figura 15. O decaimento ocorre devido à transição para μk. Assim, Sm descreve melhor este caso. No caso de μ constante, o comportamento de MZ é mais previsível como visto na Figura acima. Além disso, também é possível entender porque o rastro pneumático é 1/3 do comprimento do remendo de contato. Portanto, resumindo a equação para o modelo de pincel FY, MZ e t:

Todos esses parâmetros (Figura 16) podem ser visualizados em um gráfico relativo ao α:

Como pode ser visto, MZ, FY e t são normalizados por parâmetros semelhantes. Da Figura 17 é possível concluir que, quando FY atinge o pico, MZ e t são zero. Assim, o esforço de direção sentido pelo motorista nessa condição é apenas a trilha mecânica. Isso ocorre em um ângulo de escorregamento denominado ângulo de escorregamento inicial, dado por 1/θy. A trilha pneumática t é máxima quando não há FY, ou melhor, não há α. Assim, t é basicamente conectado a α. MZ atinge seu pico durante a fase linear de FY, em torno de α = 1/4θy. Normalmente, a rigidez nas curvas nesta fase linear FY é sobre o arco tangente de 3θy.

Como pode ser notado, todos esses parâmetros são referidos ao parâmetro do pneu composto θy, que correlaciona as propriedades do material da banda de rodagem do pneu e a carga lateral. Este é o poder do modelo brush, a única modelagem de pneu que correlaciona os parâmetros de desempenho com os parâmetros do material. θy é basicamente uma divisão da rigidez em curva por três vezes a carga lateral (Figura 18).

Referências

• Race Car Vehicle Dynamics – Miliken & Miliken;
• Guiggiani, Massimo. The Science of Vehicle Dynamics. Handling, Braking, and Ride of Road and Race Cars. New York, Springer, 2014.