A teoria clássica da laminação (CLT) possui alguns pressupostos que devem ser considerados antes de sua aplicação. Primeiro, a linha reta ortogonal ao plano médio (Figura 1) permanece ortogonal ao plano médio mesmo após a deformação. O laminado realiza apenas pequenas deformações e deformações, o que significa que o laminado pode causar movimentos rígidos. A última hipótese é que as camadas estão rigidamente conectadas. Na verdade, isso não está totalmente correto, pois a interface possui uma pequena camada de matriz entre as camadas. Porém, em uma CLT simples, essa consideração é negligenciada. Embora estas suposições simplifiquem os cálculos, existem algumas consequências. Primeiro, a continuidade do deslocamento através das interfaces e deformações de cisalhamento desprezíveis. Caso contrário, a suposição direta não seria possível. Existem outras teorias de laminações que explicam que as deformações de cisalhamento podem não ser desprezíveis, especialmente para as vigas mistas.

Visão geral

O ângulo α (Figura 1) é a rotação do plano médio em relação à configuração não deformada. Há um deslocamento na direção z do plano médio e a rotação, neste caso, é a derivada parcial do deslocamento em relação à direção x (Figura 1). Como o problema trata de uma placa, existe uma direção y que tem seu respectivo ângulo de rotação em relação ao plano médio. Neste caso, a derivada parcial seria respectiva a y. O deslocamento de um ponto material é dado pelo deslocamento do plano médio, aproximadamente a distância do ponto material ao plano médio, a coordenada z vezes o ângulo de rotação. Esta é uma análise 2D, portanto o mesmo é contabilizado para a direção y.

u(x,y) = u₀(x,y) – z(∂w₀(x,y)/∂x) = u₀ + z∙α

v(x,y) = v₀(x,y) – z(∂w₀(x,y)/∂y) = u₀ + z∙β

w(x,y) = w₀(x,y) + z

Essas equações sublinham que esses deslocamentos dependem da distância z do plano médio e do ângulo de rotação. A deformação vem do deslocamento, por definição é a derivada do deslocamento pelo eixo de referência. A deformação de cisalhamento é a soma das derivadas transversais, o que significa as derivadas do deslocamento pelo eixo ortogonal a ela respectivo.

ε_x = ∂u/∂x = ∂u₀/∂x – z(∂²w/∂x²) = ε_x0 + Z∙K_x

ε_y = ∂v/∂y = ∂v₀/∂y – z(∂²w/∂y²) = ε_y0 + Z∙K_y

γ_xy = [(∂v/∂x) + (∂u/∂y)] = [(∂v₀/∂x) + (∂u₀/∂y)] – 2z∙∂²w/(∂x∙∂y) = γ_xy0 + Z∙K_xy

Se os termos ∂v/∂x e ∂u/∂y são substituídos dentro de γxy, resulta um termo que é a derivada do deslocamento no plano médio ∂v0/∂x e ∂u0/∂y. Outro termo é a posição do material vezes o negativo da segunda derivada de w, que é basicamente a curvatura. Na verdade, esta equação se assemelha à teoria do feixe, onde Z é a segunda derivada do deslocamento do feixe, que está relacionada ao momento fletor da luz. Além disso, existe também a curvatura da viga, que é dada pelo termo Kxy. O último termo dessas equações é aproximadamente o mesmo, a diferença é que o termo da derivada mista da deformação de cisalhamento é uma curvatura de torção. Este ocorre quando o cisalhamento se junta à torção. Portanto, é possível representar essas equações na forma tensorial.

{ε_x ε_y γ_xy}^T = {ε_x0 ε_y0 γ_xy0}^T + Z∙{K_x K_y K_xy}^T → {ε_xy} = {ε_xy}₀ + Z∙{K_xy}

Dentro do laminado, os efeitos são ilustrados pela Figura 2. As deformações são contínuas, começam em zero no plano médio e aumentam linearmente até as bordas. Isso significa que as deformações dependem linearmente da coordenada z. No entanto, neste caso, existem camadas diferentes na direção z e possivelmente têm módulos elásticos diferentes. Assim, se a deformação for multiplicada pelos módulos elásticos, obtém-se a resistência disponível. Isto não é totalmente correto, mas em termos qualitativos é um resultado razoável.

Na verdade, esta abordagem assemelha-se a multiplicar ε por E, camada por camada, o que resulta numa tensão descontínua. Ou seja, cada camada, diferente dos picos homogêneos do material, para um laminado tem seu efeito próprio. Ao mesmo tempo, um laminado tem uma deformação constante ε e um módulo de elasticidade assimétrico E. Por exemplo, no caso de uma disposição que é assimétrica em relação ao plano médio. Isso significa que a distribuição de tensões será assimétrica em relação ao plano médio, gerando assim um momento em relação a ele. Dependendo da sequência de laminação pode ser esperado também algum comportamento tendencioso. Esta é a razão pela qual algumas sequências de laminação são muito curadas.

Referências

• P.K. Mallick, Fiber-Reinforced Composites: materials, manufacturing and design – 3° Ed., CRC Press, 2008