Uma vez encontrada a distribuição de tensões, é importante entender a correlação entre carga e tensão. Na verdade, as cargas são obtidas após a medição dos deslocamentos. Então através de uma série de equações é possível encontrar as cargas e momentos da membrana. Este artigo resume o procedimento para encontrar a equação da teoria clássica da laminação enquanto comenta seus parâmetros.

Relação Carga – Estresse

 

As cargas que podem ser aplicadas aos laminados são caracterizadas pelas cargas de membrana, que são descritas por Nx, Ny e Nxy. Não há orientação no eixo z, que é oposta àquela da teoria do feixe. Em geral, o eixo da viga, o eixo z, é igual ao deslocamento. Esta é apenas uma questão de representação da carga em uma direção positiva. Além disso, existem os momentos Mx, My e Mxy. Os dois primeiros são os momentos fletores, enquanto Mxy é o momento torcional. Estas são as cargas e momentos da membrana, estão relacionados com as tensões dentro do laminado.

{N_xy} = {N_x N_y N_xy}^T = ∫_-h/2^h/2{σ_x σ_y σ_xy}^Tdz

{M_xy} = {M_x M_y M_xy}^T = ∫_-h/2^h/2{σ_x σ_y σ_xy}^T∙zdz

Portanto, as cargas de membrana são as tensões integradas ao longo da espessura. Além disso, as tensões são dadas em mega Pascal MPa, Newton por metro quadrado N/m² ou Newton por milímetro quadrado, 106 N/mm². Portanto, as cargas da membrana são dadas por unidade de comprimento, N/mm. No caso de momentos de membrana, a unidade é mm∙N/mm. Portanto, tanto as cargas quanto os momentos da membrana são dados por unidade de comprimento, que é o comprimento do laminado.

Dado que o laminado é composto por várias camadas, estas são enumeradas a partir da parte inferior. A distância da linha central a uma camada é dada por hk e hk-1, onde k é a camada. Por exemplo, a camada 1 é a camada entre h1 e h0. Neste caso, para transformar a integral anterior para contabilizar estas camadas soma-se as contribuições das n camadas.

{N_xy} = Σⁿ₁k{N_xy}_k = Σⁿ₁k ∫^hk_hk-1{σ_xy}_kdz = Σⁿ₁k |Q”|_k∫^hk_hk-1{ε_xy}_kdz

{M_xy} = Σⁿ₁k{M_xy}_k = Σⁿ₁k ∫^hk_hk-1{σ_xy}_kdz = Σⁿ₁k |Q”|_k∫^hk_hk-1{ε_xy}_kdz

Portanto, são desenvolvidas equações com o somatório das n camadas da contribuição de cada camada, que é novamente uma integral, mas neste caso não é desenvolvida ao longo de toda a espessura. Na verdade, ela se desenvolve dentro da camada, dentro dos limites do caminho. Portanto, existem algumas operações, mas não com uma genérica, mas sim com a tensão dentro de cada camada. Isto pode estar relacionado à deformação através da matriz de rigidez da camada, que não é a do material, pois depende da orientação. Embora essas camadas sejam do mesmo material, as matrizes Q” e K são diferentes para cada camada devido à orientação. A razão para relacionar tensão e deformação é porque esta última está relacionada às deformações do laminado. As tensões para cada camada pode ser relacionada à deformação. Portanto, a tensão em uma camada depende da deformação no plano médio do laminado mais um termo, que é dado pela curvatura vezes a distância da camada ao plano médio. Uma vez que a deformação em cada camada é conhecida (leia mais), ela pode ser substituída nas equações de equilíbrio.

{N_xy} = Σⁿ_{1 k}|Q”|_k⋅{ε_xy}₀⋅∫^hk_hk-1dz + Σⁿ_{1 k}|Q”|_k⋅{K}₀∫^hk_hk-1zdz

{M_xy} = Σⁿ_{1 k}|Q”|_k⋅{ε_xy}₀⋅∫^hk_hk-1dz + Σⁿ_{1 k}|Q”|_k⋅{K}₀∫^hk_hk-1z²dz

O primeiro termo é uma função das deformações no plano médio vezes a integral da espessura, porque isso resulta na integral do laminado que é apenas um somatório da espessura do laminado. Neste caso, existe um termo de curvatura do plano médio vezes a integral da distância do plano médio para cada plano, somando as camadas globais. Portanto, no momento em que existem termos semelhantes:

{N_xy} = Σⁿ_{1 k}|Q”|_k⋅{ε_xy}₀⋅(h_k – h_k-1) + Σⁿ_{1 k}|Q”|_k⋅{K}₀⋅(h_k² – h_k-1²)/2

{M_xy} = Σⁿ_{1 k}|Q”|_k⋅{ε_xy}₀⋅(h_k² – h_k-1²)/2 + Σⁿ_{1 k}|Q”|_k⋅{K}₀⋅(h_k³ – h_k-1³)/3

Finalmente, isso resulta em um termo que em vez da curvatura, existem as deformações no plano médio. Além disso, existe a curvatura que multiplica a integral do quadrado da distância através da camada. Se essas integrais fossem desenvolvidas, essas equações seriam reduzidas a apenas um somatório. Conseqüentemente, as integrais foram completamente eliminadas das equações de equilíbrio. Agora é possível notar que existem termos que dependem do índice de soma k e outro que não é dependente, estes estão resumidos a seguir.

|A| = ∑₁ⁿ _k|Q|_k∙(h_k – h_k-1) ; a_ij = ∑₁ⁿ _k|Q_ij|_k∙(h_k – h_k-1)

|B| = ∑₁ⁿ _k|Q|_k∙(h_k² – h_k-1²)/2 ; b_ij = ∑₁ⁿ k|Q_ij|k∙(h_k² – h_k-1²)/2

|D| = ∑₁ⁿ _k|Q|_k∙(h_k³ – h_k-1³)/3 ; dij = ∑₁ⁿ _k|Q_ij|_k∙(h_k³ – h_k-1³)/3

Onde os termos {εxy}0 e {K}0 não dependem de k, enquanto |A|, |B|, |D|, aij, bij e dij são dependentes de k. Desde |Q| é uma matriz, estes são pedaços de uma matriz mais longa. Assim, cada uma dessas matrizes é composta por elementos, em particular, i e j, que na verdade são matrizes 3×3 e cada célula é descrita pela formulação acima. Isto depende da célula correspondente nas três matrizes de cada camada, portanto a única destas matrizes é a soma das células correspondentes na matriz de rigidez k, de n camadas, vezes o termo |Q|.

{NM}^T = {N_x N_y N_xy M_x M_y M_xy}^T ; {ε_xy⁰ k}^T = {ε_x ε_y γ_xy k_x k_y k_xy}^T

{N M}^T = |A B B D|•{ε_xy⁰ k}^T

Finalmente, reunindo as cargas e momentos fletores da membrana e a deformação e a curvatura do plano médio em um único vetor, a forma tensorial é descrita acima. Onde as cargas {N M} estão relacionadas às deformações e curvaturas do plano médio {εxy0 k} e uma matriz |A B B D|. Esta é uma notação muito compacta, que nada mais é do que uma relação entre cargas e deformações de uma placa laminada. Assim, se houver tudo para calcular a matriz ABD e houver a informação sobre a deformação, é possível calcular a carga. Esta é a forma final da teoria clássica da laminação. Porém, este não é o resultado final necessário, pois é conhecido desde as cargas até as deformações. No entanto, relativamente às tensões em cada camada é necessária uma análise detalhada. Isto é importante para definir qual é a camada mais crítica do laminado. A submatriz A relaciona as forças da membrana com as deformações da membrana. Isto é importante saber se a deformação no plano médio é a extensão ao longo de y, ou a deformação de cisalhamento, então A seria multiplicado por N. D é a relação entre momentos de flexão/torção e curvaturas, isso pode ser obtido multiplicando D por M. O papel de B é um acoplamento entre forças de membrana e deformações de membrana de curvatura e momentos de flexão/torção. Este é um termo adicional, que se houver momentos vezes B, obtêm-se as deformações da membrana, enquanto se houver deformações da membrana vezes B, obtêm-se curvaturas. Isso significa que, se o laminado estiver sendo dobrado e B for diferente de zero, será obtido o alongamento. Do ponto de vista do design, isso não é aconselhável. Outro detalhe importante é, para entender a camada ortotrópica equivalente para um laminado homogêneo, se for utilizada a matriz A dividida pela espessura do laminado.

|Q_avg| = |A|/t_lam

Esta é a matriz de rigidez ortotrópica média do laminado. A matriz B não é a melhor escolha, pois seu comportamento acoplado pode ser confundido com o desenho do laminado.

Tomando a submatriz A para um material homogêneo ortotrópico, camada cruzada ou disposição balanceada, as fórmulas obtidas são as descritas acima. Para todos esses casos, a fórmula que representa essas condições é a primeira, onde X significa célula preenchida e 0 não preenchida. Para qualquer outro tipo de laminação, todas as células são preenchidas, o que é descrito pela segunda fórmula e nunca será zero.

Para a matriz D, a formulação é dada acima. A primeira matriz representa o material ortotrópico, as configurações antissimétrica e de camadas cruzadas. Assim como na matriz A, as demais fórmulas representam as demais camadas e nunca será uma matriz nula. Além disso, a segunda fórmula também pode representar a disposição simétrica.

Para a matriz B, é diferente de zero em qualquer caso em que a disposição seja assimétrica, porque no caso de uma disposição simétrica, é zero, portanto, não há acoplamento entre flexão e deformações da membrana e entre cargas da membrana e curvatura. Portanto, poderia ser um bom motivo para adotar um lay-up simétrico, cuja condição de desacoplamento é sugerida. As camadas cruzadas e as camadas equilibradas são outras vantagens adicionais na eliminação de algumas das células. As células diferentes de zero sempre representam algo que está relacionado a um acoplamento interno entre a deformação da membrana e o cisalhamento da membrana. Se houver termos diferentes de zero, isso significa que existe um pequeno acoplamento interno. Conseqüentemente, um comportamento cruzado ou equilibrado é ainda melhor.

Referências

• P.K. Mallick, Fiber-Reinforced Composites: materials, manufacturing and design – 3° Ed., CRC Press, 2008