Nos artigos anteriores (leia aqui e aqui) foi descrito o desenvolvimento da formulação para obtenção da equação CLT. Através disso, percebeu-se a relação entre cargas e deformações, cargas e deformações da membrana e os efeitos do acoplamento. Neste artigo o efeito do acoplamento será explicado qualitativamente e as limitações da CLT serão expostas. Ao final, é feita uma breve explicação dos métodos de elementos finitos para CLT.

Efeitos e importância do acoplamento

Para a designação de acoplamento, por exemplo, deformação da membrana, curvatura torcional ou torcida, seu motivo é explicado qualitativamente na Figura 1. Por exemplo, as propriedades não simétricas da deformação da membrana e momentos fletores significam que algo ocorre em termos de flexão ou torcendo. A Figura 1 ilustra dois casos diferentes, um com duas camadas e outro com quatro camadas. Neste caso, é possível notar que a assimetria da distribuição de tensões resultante é menor que no caso anterior. Isto significa qualitativamente que, se o layout tiver mais lonas, mesmo que estas não sejam simétricas, o acoplamento será cada vez menor, à medida que for aumentado o número de lonas. Assim, quanto maior o número de camadas, menores serão os efeitos do acoplamento. Um maior número de camadas anula o acoplamento independentemente de serem simétricas ou não.

Tensões na k-ésima camada

O caso dimensional significa passar de fibras para lonas, de lonas para laminado e, em alguns casos, de lonas para fibras e de laminado para lonas. O objetivo é entender que uma vez conhecidas as deformações no laminado, é possível conhecer as deformações nas lonas, o que depende do plano médio do laminado a partir da dobra vezes a curvatura. A distância do plano médio é tomada como a média das distâncias das interfaces das camadas. Se houver deformação em cada camada, pela matriz de rigidez de cada camada é possível calcular a tensão.

Para compreender as tensões na direção do material principal, introduzidas pelo cálculo da redundância da saturação da camada, basta fazer a transformação das tensões no material principal. Obviamente, é possível perceber que tais cálculos são realizados por dispositivos próprios, mas é importante entender o caminho destes.

Limitações da teoria clássica da laminação

A limitação da teoria clássica da laminação é que ela não leva em conta o descasamento de Poisson entre as camadas. Por exemplo, no caso de camadas orientadas a 0º (Figura 3), elas também estão orientadas para fora do plano. Outra limitação é a retração transversal das camadas das cargas aplicadas a 0º e 90º, que são εy = -ν12•εx e εy = -ν21•εx, respectivamente. A retração transversal de 90º é muito inferior à de 0º, pois neste caso existem fibras que impedem a contração. Conseqüentemente, essas camadas estão juntas e existem algumas tensões que compensam esse descasamento. Estas tensões são de cisalhamento, mas se ocorrerem na direção vista na Figura 3, é necessário compensar com uma tensão de compressão σy. No entanto, isso gera uma flexão na esquina, que é compensada pela distribuição de tensões ao longo de σz. Especialmente este valor na interface τzy, possui uma tendência qualitativa que é caracterizada pelo valor de pico da tensão de cisalhamento, a linha pontilhada (Figura 3), e o valor assintótico da transversal σz. Este problema pode ser melhor explicado entendendo essas duas camadas separadamente. Neste caso, eles estão invertidos, sofrendo apenas uma compressão diferente. Uma vez unidos, estes sofrerão a mesma deformação, o que significa que um terá que se expandir e o outro terá que encolher. Assim, haverá forças dirigidas no limite da tensão e, na interface, as tensões são caracterizadas pela direção em relação à camada de montagem, porque devem encolher a camada. Isto significa que, em termos de equilíbrio, existem tensões de compressão transversais à camada. Quanto ao equilíbrio, certamente existe em termos da direção transversal. Portanto, para o momento gerado (Figura 3), existe algum equilíbrio. O caso visto na Figura 3 ilustra que, próximo ao canto da camada, existe um momento. Neste caso, é necessária outra distribuição de tensões, que é σz, para equilibrar aquela representada por σy. Ou seja, o momento gerado pela distribuição σy é balanceado pelo mesmo gerado pela distribuição σz. Resumindo, a distribuição das tensões é muito mais complexa do que aquela que é modelada. Estas são tensões que podem ser modeladas pela matemática e pela FEA.

As tensões devido ao desajuste de deformação por cisalhamento, também chamado de desacordo de cisalhamento, são ilustradas pela Figura 4. Neste caso, as camadas estão em -45º e 45º, pois cada camada está submetida a uma carga de membrana que se deforma tanto em tração quanto em cisalhamento devido ao fato de que as fibras estão fora do eixo. O fato dos ângulos serem de 90º entre si significa que a deformação por cisalhamento será incompatível entre as camadas. Para que a deformação seja equalizada, o lay-up balanceado possui uma deformação de extensão. Em outras palavras, não há deformação por cisalhamento no compósito geral -45º/45º. Na verdade, isso significa que existem tensões de cisalhamento na interface, que trazem de volta as duas camadas a uma deformação consistente. Além disso, as tensões apresentam uma tendência qualitativa que sugere um valor teórico infinito próximo aos lados. Em outras palavras, estes podem atingir valores muito elevados próximos às laterais e potencialmente danificar o laminado na interface. Portanto, esta é a razão pela qual é aconselhável não ter ângulos muito grandes entre uma camada, a seguinte e a anterior, pois gera-se um maior descasamento de cisalhamento. Quanto maior o ângulo, maior será a incompatibilidade de cisalhamento. Esses são valores de tensões que não podem ser calculados pela teoria clássica da laminação. Na verdade, eles são calculados por algoritmos sofisticados no método dos elementos finitos (FEM).

Avaliação através da espessura e cisalhamento interlaminar

A suposição de que o laminado é feito por uma sequência de camadas, que estão sujeitas a tensões no plano caracterizadas apenas por σx, σy e τxy em cada camada, é dirigida a laminados finos. Se o laminado for mais espesso, a tensão de cisalhamento transversal será maior. Semelhante às vigas, quanto mais espessas forem, maior será a tensão de cisalhamento transversal em relação às tensões de flexão. Assim, para os laminados espessos, a suposição de tensões de cisalhamento interlaminares desprezíveis pode não ser verdadeira. Além disso, no caso de um material isotrópico e se essa suposição for considerada, isto é bastante semelhante a ter uma viga cuja relação espessura/comprimento é muito baixa. Neste caso, o módulo de cisalhamento é comparável ao módulo de elasticidade (G ≅ E), portanto G < E para materiais isotrópicos, o que é típico para metais é cerca de 2,3. É mais de um terço do módulo elástico.

E = 2G•(1 + µ)

No caso dos componentes, o valor de G13, que na maioria das vezes também é uma representação de G23, é muito inferior ao valor de E1. Isto significa que, um pequeno cisalhamento na direção transversal, mesmo com uma pequena carga de cisalhamento, resultará em uma alta deformação de cisalhamento, porque o valor do módulo é baixo. Portanto, é necessário levar em conta a presença de tensões de cisalhamento transversais e deformações para se ter uma representação adequada da tensão e da deformação em um compósito. Esta é a razão pela qual existe um método denominado teoria da primeira deformação por cisalhamento, que é um aprimoramento do CLT, que considera a presença do cisalhamento transversal ωx e ωy, que são balanceados pelas tensões de cisalhamento, τyz e τxz. Em outras palavras, um somatório da tensão de cisalhamento de cada camada, para todas as camadas.

Existem algumas etapas para encontrar a relação entre a tensão de cisalhamento transversal e a deformação de cisalhamento transversal para cada camada. Onde essas propriedades nada mais são do que aqueles módulos elásticos descritos na Figura 5. Portanto, não existe G12, neste caso é o módulo de elasticidade no plano G13, o módulo de elasticidade fora do plano é G23.

Portanto, existem alguns passos para obter a representação da relação entre forças cortantes, cargas e deformações através de uma matriz, que são caracterizadas por termos que dependem da matriz de rigidez ao cisalhamento da camada somada ao longo de um número de camadas vezes uma função do grossura.

Noções básicas de análise de elementos finitos para laminados

A análise de elementos finitos para laminados possui diversas opções. A Figura 7 ilustra algumas perspectivas. Por exemplo, elementos de casca e sólidos podem ser escolhidos, bem como configurações homogêneas e em camadas.

Os elementos homogêneos significam que cada elemento é definido de forma equivalente à camada ortotrópica. O elemento estratificado é uma configuração em que cada elemento possui um lay-up que o compõe.

Por exemplo, existe um comando denominado composto lay-up, cuja orientação de cada camada compõe a seção de uma casca ou a seção de uma cavidade.

Obviamente, cada camada refere-se a um determinado material, cujas propriedades são dadas na direção principal do material. Assim, dado um lay-up, o software calcula a matriz de rigidez da camada, ou a mesma do laminado. Ao utilizar diferentes tipos, por exemplo, se for solicitada a realização de uma primeira tentativa de análise de um corpo onde não há pontos muito críticos, como furos, curvaturas acentuadas, cantos e arestas, podem ser utilizados elementos de casca. Eles são computacionalmente leves e simples. Caso seja encontrado um material homogêneo em relação à espessura e ortotrópico, deve-se definir as propriedades ortotrópicas equivalentes da camada do laminado. A razão é que a seção fixada a um elemento quadrado define as propriedades do laminado. É possível utilizar elementos sólidos com mais elementos em toda a espessura possível e utilizar mais elementos para cada camada, se estes forem modelados explicitamente. O material utilizado é diferente para cada camada. Neste caso, é útil estudar as tensões de cisalhamento interlaminares nas interfaces.

Elementos em camadas

O uso de elementos em camadas é semelhante ao de elementos homogêneos. A diferença é que, ao invés de inserir propriedades ortotrópicas, é configurado o lay-up e definido um material de acordo com suas propriedades ortotrópicas em sua direção principal do material.

Elementos de casca contínuos

A casca contínua parece um elemento sólido, portanto é possível mesclar uma geometria tridimensional com um hexaedro sólido. Porém, neste caso, em vez disso, é extraída a superfície média e a malha com elementos, cujo comportamento cinemático e constitutivo é semelhante ao de um elemento de casca convencional. Portanto, é mais conveniente para fins de malha. Como os elementos sólidos possuem apenas deslocamentos e graus de liberdade, os elementos de casca contínua possuem deslocamentos e nós. A partir deles é calculada a rotação correspondente aos nós de tecido espesso no plano médio do elemento como se fosse uma casca. Assim, abaixo desta membrana existe uma casca, onde as rotações são calculadas pelos nós no deslocamento. Neste caso, traz deformação infinita da membrana e grandes rotações de até 10%, sendo preferíveis elementos sólidos.

Referências

• P.K. Mallick, Fiber-Reinforced Composites: materials, manufacturing and design – 3° Ed., CRC Press, 2008.