Fundamentos do modelo didático “brush” de pneus
Este é o modelo de pneu que é simplesmente usado devido às suposições feitas para ele. Na verdade, a precisão dos resultados não é o objetivo, mas o que esses resultados significam segue o que realmente acontece com os pneus. Portanto, o modelo de pincel é qualitativamente viável. A figura acima ilustra a partir do que o modelo é composto. Como pode ser notado, o patch de contato é perfeitamente simétrico e apresenta duas características distintas. Primeiro, a superfície é quadrada e, segundo, a curva de pressão no pneu admite uma forma parabólica. O contato entre pneu e solo é feito através de cerdas, são infinitamente mais finos e sua flexibilidade pode ser contabilizada longitudinal e transversalmente. Além disso, o pneu é considerado um disco rígido e fino.
Estas três últimas equações (quadrado vermelho) descrevem que em modelos de pincel, a forma da parábola dá uma variação da força e pressão ao longo da direção x. Assim, a distribuição de pressão e a força resultante dependem de uma pressão nominal P0, que geralmente é assumida como a mesma que a pressão interna do pneu. Embora este sistema não reproduza quantitativamente o que acontece no pneu real, a equação resultante da força pode ser ajustada definindo valores específicos no lugar de 3/2. Considerando que o sistema é modelado para condições de rolamento puro, é necessário estabelecer algumas condições:
Como pode ser visto, há um curto período em que o coeficiente de atrito atinge um valor menor que o usual e toca a linha nominal do modelo. No entanto, quando esse valor se torna excessivamente alto, o μ aumenta novamente. Em geral, o coeficiente de atrito desenvolvido em um caso dinâmico segue uma pequena relação entre seu valor e o coeficiente X, que costuma ter valores em torno de 0,20.
Em geral, os valores de t oscilam em torno de 30 e 60 MN/m², que não estão tão distantes das características. De fato, a rigidez tangencial das cerdas pode reproduzir as características reais da área de contato do pneu. Devido à sua flexibilidade, a tensão tangencial leva em conta os efeitos longitudinais e laterais.
Como pode ser visto, o deslocamento tangencial das pontas das cerdas é uma relação linear dos coeficientes teóricos de escorregamento, ou seja, está ligado à velocidade da roda ao escorregar sem escorregar, na verdade, é uma relação. O sinal é o oposto do teórico, portanto, geralmente é contra o movimento da roda. A única limitação do deslocamento da ponta das cerdas é o coeficiente de atrito produzido entre o pneu e o solo. As cerdas se comportam de maneira diferente de acordo com as seguintes condições:
O gráfico ilustra as condições em que se inicia o comportamento linear, desde o início da área de contato do pneu até o ξ, que passa a ser 2a. Este é o comprimento total do remendo de contato do pneu. Quando ξ se torna 2a, a área total foi consumida pelo deslizamento e então o pneu está em condição instável. No entanto, o gráfico também mostra que é possível alterar o caminho pelo qual essa área será anulada. De fato, isso pode ser feito aumentando t(ξ) ou ξ. O estresse no patch de contato está relacionado a quanto é a distribuição de pressão. Uma redução dele possibilita seguir outro caminho, ou seja, outra parábola. Isso pode ser descrito pelas seguintes equações:
Assim, como pode ser visto, o valor de sigma se aproxima de σm, que é o deslizamento limite. O valor de ξs representa o comprimento do patch de contato que está sendo anulado pela condição de escorregamento. Como ξs vai de 2a até zero (ponto A), o patch de contato está sendo dividido em uma seção com deslizamento e em outra com aderência. Portanto, quando ξs é igual a 2a, σ se torna zero e quando ξs se torna zero, σ iguala a σm, uma condição instável.
A força total em um patch de contato retangular é uma função dos coeficientes de escorregamento, que estão contidos em uma potência de três. Da mesma forma, é limitado por σm. Além disso, existem também os termos ξ e X. O primeiro é o coordenador auxiliar que determina o quanto o patch de contato está em condição de deslizamento. O termo X é o mesmo do patch de contato parabólico, mas com valor diferente. No entanto, para o patch de contato retangular, existem duas condições limitantes que são dadas por:
As duas últimas correlações são a teoria clássica do atrito.
O gráfico e as expressões acima sugerem que μmax não é o coeficiente de atrito máximo desenvolvido. Isso pode ser um pouco contra intuitivo, mas μ1 e μ0 são coeficientes que variam devido às condições dos pneus. Como estas representam condições extremas, por exemplo, aderência total ou deslizamento total, o coeficiente de atrito máximo (μmax) é aquele que proporciona o melhor desempenho do pneu. Assim, o coeficiente c pode ser calculado.
Portanto, agora é descrito que tanto as forças totais quanto as verticais (Ft e Fz) não dependem apenas do coeficiente de escorregamento teórico, mas também das características estruturais dos pneus. No entanto, esta linearização só é benéfica quando as forças estão na parte linear da curva. Após este ponto, esta suposição não reflete mais esta condição do pneu. Além disso, é importante mencionar que a direção da força tangencial é sempre a oposta ao coeficiente de escorregamento.
Portanto, para um caso com T igual a 0, Fx é igual a 0 e σx é igual a 0, portanto Fy é igual a Ft.
Estas três últimas equações (quadrado vermelho) descrevem que em modelos de pincel, a forma da parábola dá uma variação da força e pressão ao longo da direção x. Assim, a distribuição de pressão e a força resultante dependem de uma pressão nominal P0, que geralmente é assumida como a mesma que a pressão interna do pneu. Embora este sistema não reproduza quantitativamente o que acontece no pneu real, a equação resultante da força pode ser ajustada definindo valores específicos no lugar de 3/2. Considerando que o sistema é modelado para condições de rolamento puro, é necessário estabelecer algumas condições:
Como pode ser visto, há um curto período em que o coeficiente de atrito atinge um valor menor que o usual e toca a linha nominal do modelo. No entanto, quando esse valor se torna excessivamente alto, o μ aumenta novamente. Em geral, o coeficiente de atrito desenvolvido em um caso dinâmico segue uma pequena relação entre seu valor e o coeficiente X, que costuma ter valores em torno de 0,20.
Modelo de cerdas
Em geral, os valores de t oscilam em torno de 30 e 60 MN/m², que não estão tão distantes das características. De fato, a rigidez tangencial das cerdas pode reproduzir as características reais da área de contato do pneu. Devido à sua flexibilidade, a tensão tangencial leva em conta os efeitos longitudinais e laterais.
Modelagem das cerdas
Como pode ser visto, o deslocamento tangencial das pontas das cerdas é uma relação linear dos coeficientes teóricos de escorregamento, ou seja, está ligado à velocidade da roda ao escorregar sem escorregar, na verdade, é uma relação. O sinal é o oposto do teórico, portanto, geralmente é contra o movimento da roda. A única limitação do deslocamento da ponta das cerdas é o coeficiente de atrito produzido entre o pneu e o solo. As cerdas se comportam de maneira diferente de acordo com as seguintes condições:
Condições para o comportamento linear
As condições para as tensões tangenciais podem ser estabelecidas:
O gráfico ilustra as condições em que se inicia o comportamento linear, desde o início da área de contato do pneu até o ξ, que passa a ser 2a. Este é o comprimento total do remendo de contato do pneu. Quando ξ se torna 2a, a área total foi consumida pelo deslizamento e então o pneu está em condição instável. No entanto, o gráfico também mostra que é possível alterar o caminho pelo qual essa área será anulada. De fato, isso pode ser feito aumentando t(ξ) ou ξ. O estresse no patch de contato está relacionado a quanto é a distribuição de pressão. Uma redução dele possibilita seguir outro caminho, ou seja, outra parábola. Isso pode ser descrito pelas seguintes equações:
Assim, como pode ser visto, o valor de sigma se aproxima de σm, que é o deslizamento limite. O valor de ξs representa o comprimento do patch de contato que está sendo anulado pela condição de escorregamento. Como ξs vai de 2a até zero (ponto A), o patch de contato está sendo dividido em uma seção com deslizamento e em outra com aderência. Portanto, quando ξs é igual a 2a, σ se torna zero e quando ξs se torna zero, σ iguala a σm, uma condição instável.
Pneu com contato de área retangular
A força total em um patch de contato retangular é uma função dos coeficientes de escorregamento, que estão contidos em uma potência de três. Da mesma forma, é limitado por σm. Além disso, existem também os termos ξ e X. O primeiro é o coordenador auxiliar que determina o quanto o patch de contato está em condição de deslizamento. O termo X é o mesmo do patch de contato parabólico, mas com valor diferente. No entanto, para o patch de contato retangular, existem duas condições limitantes que são dadas por:
As duas últimas correlações são a teoria clássica do atrito.
Exemplo
Neste exemplo, a força total é derivada em termos de r tendendo a zero, assim o valor de σp é obtido. Existem dois coeficientes X que podem ser usados, 0,2 e 1,2, eles representam o patch de contato de distribuição parabólica e os retangulares, respectivamente. Os pneus sempre operam sob um certo grau de deslizamento, isso lida com a força centrífuga produzida. Na ausência de deslizamento, parte da força produzida pelos pneus é utilizada para lidar com a força centrífuga, assim uma quantidade menor é capaz de suportar cargas longitudinais e laterais. Assim, os pneus requerem uma certa quantidade de deslizamento para funcionar corretamente. No entanto, a partir de um ponto específico, a força total produzida começa a diminuir. Portanto, fica claro que, se o coeficiente de escorregamento teórico estiver aumentando, reduz Ft, que passa a ser constante ou, uma condição travada das rodas.Coeficiente C
O gráfico e as expressões acima sugerem que μmax não é o coeficiente de atrito máximo desenvolvido. Isso pode ser um pouco contra intuitivo, mas μ1 e μ0 são coeficientes que variam devido às condições dos pneus. Como estas representam condições extremas, por exemplo, aderência total ou deslizamento total, o coeficiente de atrito máximo (μmax) é aquele que proporciona o melhor desempenho do pneu. Assim, o coeficiente c pode ser calculado.
Portanto, agora é descrito que tanto as forças totais quanto as verticais (Ft e Fz) não dependem apenas do coeficiente de escorregamento teórico, mas também das características estruturais dos pneus. No entanto, esta linearização só é benéfica quando as forças estão na parte linear da curva. Após este ponto, esta suposição não reflete mais esta condição do pneu. Além disso, é importante mencionar que a direção da força tangencial é sempre a oposta ao coeficiente de escorregamento.
Portanto, para um caso com T igual a 0, Fx é igual a 0 e σx é igual a 0, portanto Fy é igual a Ft.
Referências
- Artigo originalmente publicando no blog Automotive Papers.
- Guiggiani, Massimo. The Science of Vehicle Dynamics. Handling, Braking, and Ride of Road and Race Cars. New York, Springer, 2014;
- GILLESPIE, Thomas D, Fundamentals of Vehicle Dynamics, Warrendale, Society of Automotive Engineers, 1992. 470p.
